Réponse :
Exercice classique de 1ère qui ne pose aucune difficulté.
Explications étape par étape
A) 2x³+9x²+7x-6=(x+3)(ax²+bx+c)
on si on effectue la division euclidienne littérale 2x³+9x²+7x-6 par (x+3) on trouve un quotient de 2x²+3x-2 et un reste nul donc
2x³+9x²+7x-6=(x+3)(2x²+3x-2)
une autre méthode consiste à développer le produit et comparer les coeffficients ax³+bx²+cx+3ax²+3bx+3c soit ax³+(3a+b)x²+(3b+c)x+3c
On en déduit que a=2, b=3 et c=-2
B) f(x)=2x³+9x²+9x-7
1) f'(x)=6x²+18x+9=3(2x²+6x+3)
f'(x)=0 delta=12 et rac12=2rac3
solutions x1=(-6-2rac3)/4 et x2=(-6+2rac3)/4
2) tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo x1 x2 +oo
f'(x)...............+..................0............-.................0............+...................
f(x)-oo....croi..................f(x1).....décroi.........f(x2) ........croi..........+oo
calcule f(x1) et f(x2).
3) tangente à (C) au point d'abscisse x=0
on applique la formule y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)
soit y=f'(0)(x-0)+f(0)=9(x-0)-7=9x-7
équation de (T) y=9x-7
4a) D(x)=f(x)-(2x-1)=2x³+9x²+9x-7 -2x+1=2x³+9x²+7x-6
on retrouve l'expression de A donc D(x)=(x+3)(2x²+3x-2)
b)les points d'intersection de la courbe de f(x) avec cette droite (d) y=2x-1 sont les solutions de D(x)=0
soit de (x+3)(2x²+3x-2)=0 (produit de facteurs)
on a d'abord elle de (x+3)=0 soit x=-3 puis celles de 2x²+3x-2=0
delta=9+16=25
solutions x=(-3-5)/4=-2 et x=(-3+5)/4=1/2
les points d'intersection de (d) avec la courbe ont pour abscisses
x{-3; -2; 1/2}
Position de (C) par rapport à (d)
si D(x)>0 (C) est au dessus de (d) et si D(x)<0 (C) est en dessous de(d)
il suffit de faire un tableau de signes
x oo -3 -2 1/2 +oo
x+3 ...........-..............0..............+.................+........................+...................
2x²+3x-2.......+.................................+.......0........-...........0...........+...................
D(x) .............-............0..............+........0.........-..........0...........+...................
J'espère ne pas avoir fait d'erreurs de calcul mais vérifie quand même.