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Sagot :
Réponse : Bonsoir,
Initialisation: Pour n=0, [tex]U_{0}=3 > 2[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]U_{n} > 2[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, donc que [tex]U_{n+1} > 2[/tex].
On remarque que [tex]U_{n+1}=f(U_{n})[/tex], avec f(x)=[tex]\frac{4x-2}{x+1}[/tex].
Étudions les variations de f.
Pour cela, on calcule la dérivée f':
[tex]f'(x)=\frac{4(x+1)-1(4x-2)}{(x+1)^{2}}=\frac{4x+4-4x+2}{(x+1)^{2}}=\frac{6}{(x+1)^{2}}[/tex].
On remarque pour tout [tex]x \ne 1, f'(x) \geq 0[/tex], on a donc le tableau de variations suivant:
x -∞ -1 +∞
f'(x) + ║ +
f(x) (croissant) ║ (croissant)
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]U_{n} > 2\\f(U_{n}) > f(2) \quad car \; f \; est \; croissante\\U_{n+1} > 2[/tex].
La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]U_{n} > 2[/tex].
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