Réponse : Bonjour,
1) [tex]f \geq 0[/tex] sur l'intervalle [0;1], comme f est la dérivée de F, alors F est croissante sur l'intervalle [0;1].
[tex]f \leq 0[/tex] sur l'intervalle [1;3], donc F est décroissante sur l'intervalle [1;3].
[tex]f \geq 0[/tex] sur l'intervalle [3;+∞[, donc F est croissante sur l'intervalle [3;+∞[.
De plus, f s'annule en x=1 et x=3, donc F a des tangentes horizontales en x=1 et x=3.
La seule figure qui respecte ces conditions est la figure 3.
2) f est une parabole, donc son équation est du type f(x)=ax²+bx+c, avec a,b,c réels. Comme la parabole est "à l'endroit", alors a >0.
3) Comme f a deux racines qui sont 1 et 3 alors f(x)=a(x-1)(x-3).
De plus, f(0)=3, donc:[tex]f(0)=3 \Leftrightarrow a \times 0^{2}+b \times 0+c=3 \Leftrightarrow c=3[/tex].
On sait que le produit des racines du trinôme est:
[tex]1 \times 3=\frac{3}{a} \Leftrightarrow 3=\frac{3}{a} \Leftrightarrow 3a=3 \Leftrightarrow a=1.[/tex].
On a donc: f(x)=(x-1)(x-3).
4) Étudions le signe de f sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
x -∞ 1 3 +∞
x-1 - Ф + +
x-3 - - Ф +
f(x)=(x-1)(x-3) + Ф - Ф +
F(x) (croissant) (décroissant) (croissant)
Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1) La dérivée est < 0 sur [1;3] donc il faut trouver une fonction F qui est décroissante sur [1;3].
La seule qui convienne est F3.
2)
Cf est une parabole orientée vers les y > 0 dont le sommet S a pour coordonnées : S (2;-1) et qui coupe l'axe des x en 2 points :
x1(1;0) et x2(3;0).
3)
Donc f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-3)
Mais f(0)=3 donc on peut écrire :
a(0-1)(0-3)=3 qui donne :
3a=3 soit a=1.
Donc f(x)=(x-1)(x-3).