Réponse : Bonjour,
Exercice 16
a) Je vous laisse conjecturer avec la calculatrice, moi je trouve que [tex]u_{n}-v_{n} \geq 0[/tex].
b) Démontrons que [tex]u_{n}-v_{n} \geq 0[/tex], pour tout entier naturel n:
[tex]u_{n}-v_{n}=\sqrt{n^{4}+3n}-n^{2}=\sqrt{n^{4}(1+\frac{3n}{n^{4}})}-n^{2}=n^{2}\sqrt{1+\frac{3}{n^{3}}}-n^{2}\\=n^{2}\left(\sqrt{1+\frac{3}{n^{3}}}-1\right)\\Or \; \sqrt{1+\frac{3}{n^{3}}} > \sqrt{1}=1 \quad car \; \frac{3}{n^{3}} > 0 \; pour \; tout \; n \ne 0 \; entier \; naturel\\Donc \; \sqrt{1+\frac{3}{n^{3}}}-1 > 0 \; pour \; tout \; n \ne 0 \; entier \; naturel\\De \; plus \; n^{2} > 0 \; pour \; tout \; n \; entier \; naturel[/tex].
De ce qui précède, on en déduit que [tex]u_{n}-v_{n} > 0[/tex], pour tout entier naturel n différent de 0.
Pour n=0, [tex]u_{0}-v_{0}=0[/tex].
Donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n}-v_{n} \geq 0[/tex].
c) Pour tout entier naturel n:
[tex]u_{n}-v_{n} \geq 0\\Donc \; u_{n} \geq v_{n}\\Or \; \lim_{n \mapsto +\infty} v_{n}=\lim_{n \mapsto +\infty} n^{2}=+\infty\\Donc \; \lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=+\infty[/tex].
