Réponse :
f(x)=x²+1 OK
Tu remarques que l'aire recherchée est un rectangle de longueur f(x) et de largeur (2-x) donc l'aire du rectangle en fonction de x est A(x)=(x²+1)(2-x)
soit A(x)=-3x³+2x²-x+2 .Etudions cette fonction A(x) sur [0;2]
Explications étape par étape
1) Dérivée A'(x)=-3x²+4x-1
A'(x)=0 (via delta) tu arrives A'(x)=0 pour x=1/3 et x=1
2)Tableau de signes de A'(x) et de variations de A(x) sur [0;2]
x 0 1/3 1 2
A'(x) ............-..............0..............+................0...........-..............
A(x) 2......décroi.......A(1/3)......croi............A(1)........décroi....0
on note que A(0)=2 est une valeur max qui correspond au point P(0;1) et que A(1)=2 est aussi une valeur max qui correspond au point P(1;2)
Nota: tu peux garder la forme factorisée de A(x)=(x²+1)((2-x) pour calculer la dérivée en utilisant la formule (u*v)'=u'v+v'u. La forme développée (polynome du 3éme degré avec un "a" <0) met en évidence l'aspect de la courbe décroissante; croissante; décroissante)
