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Sagot :
Réponse : Bonsoir,
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]\frac{1}{2} \leq U_{n} < 1[/tex].
Initialisation: Pour n=0, [tex]u_{0}=\frac{1}{2}[/tex], donc [tex]\frac{1}{2} \leq U_{0} < 1[/tex]. C'est donc vérifié à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]\frac{1}{2} \leq U_{n} < 1[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, que [tex]\frac{1}{2} \leq U_{n+1} < 1[/tex].
On remarque que [tex]U_{n+1}=f(U_{n})[/tex], avec [tex]f(x)=x^{2}-x+1[/tex].
Étudions les variations de f.
On calcule la dérivée f':
[tex]f'(x)=2x-1[/tex].
On étudie le signe de f'.
[tex]f'(x) \geq 0\\2x-1 \geq 0\\2x \geq 1\\x \geq \frac{1}{2}[/tex].
On obtient le tableau suivant:
x -∞ 1/2 +∞
f'(x) - Ф +
f(x) (décroissant) (croissant)
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]\frac{1}{2} \leq U_{n} < 1\\f(\frac{1}{2}) \leq f(U_{n}) < f(1) \quad car \; f \; est \; croissante \; sur \; [\frac{1}{2};+\infty[\\f(\frac{1}{2})=\left(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{1-2+4}{4}=\frac{3}{4}[/tex].
[tex]f(1)=1^{2}-1+1=1-1+1=1\\Donc \; \; \frac{3}{4} \leq U_{n+1} < 1\\Par \; suite \; \; \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \leq U_{n+1} < 1[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]\frac{1}{2} \leq U_{n} < 1[/tex].
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