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Pour rembourser un emprunt de 12000€ sans interêt, un emprunteur doit verser chaque année la même somme, durant plusieurs années.
S'il versait 600€ de plus par an, le remboursement serait terminé un an plus tôt.
On appelle "n" le nombre d'années nécessaires au remboursement et x la somme de chaque année.
1/ Expliquez pourquoi : xn=12000 et (x+600)(n-1)=12000
2/ Déduisez-en que x=600n-600 puis que: n²-n-20=0
3/ Calculez la durée du remboursement et le montant de chaque échéance.
1/ Sans intérêt, pour rembourser un emprunt il faut verser une certaine somme x pendant un certain nombre d'années n. Le montant total sera donc de n*x = montant emprunté = 120000.
Ensuite, on te dit que si on verse 600 euros de plus chaque année, on paye pendant le nombre d'années -1 ( = un an plus tot)
donc le montant versé par année est de (x +600)euros, et le nombres d'années à payer est de (n-1) ans. Cela doit toujours etre égal au meme montant donc
(x+600)*(n-1)=12000
2/ on a donc un système de 2 équations à 2 inconnues qu'il faut résoudre:
n*x=12000 (0) et (x+600)*(n-1)=12000. (1) les 2 équations sont égales à une meme constante, elles sont donc egales entre-elles:
<=> n*x = (x+600)*(n-1) (2)
<=>n*x= x*n -x +600n -600 (3)
<=>x=600n - 600. (4)
pour avoir la 2è relation, il suffit de remplacer x dans une des 2 équations du système de base par (4) (prenons la plus simple,n*x=12000 )
donc: n*(600n-600)=12000
<=> n^2 - n - 20 =0
3/ il suffit de résoudre cette dernière équation pour trouver unb solution de n et donc de x:
une équation du 2è degré, tu resoud en trouvant a) le delta : b^2-4*a*c = 81
b) les racines n1 et n2: -b +- racine de delta / 2a = 5 ou -4 or tu ne peux pas compter des années négatives => n=5.
ensuite : x=12000/5=2400 euros.
Tu peux vérifier que ce résultat est juste avec l'éq (1) : (2400+600)*(5-1)=12000, ce qui est bien correct.