Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1a) Voir image jointe
1b) La suite semble converger vers 3.
2a)
[tex]U_n > 3\\\\\dfrac{2}{3} U_n > \dfrac{2}{3} *3\\\dfrac{2}{3} U_n+1 > 2+3\\U_{n+1} > 3\\[/tex]
2b) Ceci n'est pas facile pour moi.
[tex]f(x)=\dfrac{2}{3} *x+1\\\begin {array} {c|ccc }x&.&-\dfrac{3}{2} &.\\y&-&0&+\\\end {array}\\U_{n+1}=f(U_n)\\\\U_{n+1}-U_n=1-\dfrac{U_n}{3} \\\\0 \geq 1-\dfrac{U_n}{3} \geq -1\\[/tex]
où y<0 donc la suite est décroissante.
(je sais ce n'est pas très clair dans mon esprit)
3)
Plus facile
[tex]V_n=U_n-3\\V_{n+1}=U_{n+1}-3\\=\dfrac{2}{3} U_n-2\\=\dfrac{2}{3}(U_n-3)\\=\dfrac{2}{3}*V_n\\\\V_0=U_0-3=6-3=3\\\\V_n=3*\dfrac{2}{3}^n\\\\U_n=3*\dfrac{2}{3}^n + 3\\[/tex]
