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Terminale S : raisonnement par récurrence

Bonsoir à tous,
J’aurais besoin d’aide sur la dernière question de l’exercice ci joint s’il vous plaît.
J’ai réussi les deux premières questions.
De plus, je sais que pour la dernière on pourrait répondre en utilisant le théorème qui stipule que toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure, pourtant la tournure de la question et le calcul demandé dans un second temps laisse penser qu’une autre méthode est attendue.
Quelqu’un pourrait il m’éclairer s’il vous plaît ?
Merci d’avance et bonne soirée



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Sagot :

Réponse : Bonsoir,

4) Non, vous avez raison, comme [tex](u_{n})[/tex] est croissante et majorée alors elle converge sa borne supérieure [tex]l[/tex].

Calculons la limite de cette suite.

On a:

[tex]u_{n+1}=f(u_{n})\\\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n+1}=\lim_{n \mapsto +\infty} f(u_{n})\\Or \; \lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=l \quad \lim_{n \mapsto +\infty} f(u_{n})=f(l) \; car \; f \; est \; continue\\Donc \; l=f(l)[/tex].

La limite [tex]l[/tex] vérifie [tex]l=f(l)[/tex], et:

[tex]l=f(l)\\l=\frac{1}{10}l(20-l)\\ l(20-l)=10l\\20l-l^{2}-10l=0\\-l^{2}+10l=0\\l(-l+10)=0\\l=0 \quad ou \quad -l+10=0\\l=0 \quad ou \quad l=10[/tex].

[tex]l=0[/tex], n'est pas possible car [tex]u_{n} \geq 0[/tex], et [tex](u_{n})[/tex] est croissante, donc la limite [tex]l[/tex] de [tex](u_{n})[/tex] est [tex]l=10[/tex].

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