Bonjour;
1.
a.
On a :
[tex]u_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}}{2(n+1)+1}=\dfrac{3^{n+1}}{2n+3}\ ;[/tex]
donc :
[tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{3^{n+1}}{2n+3} \times\dfrac{2n+1}{3^n}=3\times\dfrac{2n+1}{2n+3}=\dfrac{6n+3}{2n+3}\ ;[/tex]
donc :
[tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1=\dfrac{6n+2}{2n+3}-1=\dfrac{6n+3-2n-3}{2n+3}=\dfrac{4n}{2n+3}\ .[/tex]
b.
[tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1=\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_{n}}=\dfrac{4n}{2n+3}\ ;[/tex]
comme u_n et (4n)/(2n+ 3) sont strictement positifs pour n ∈ IN* ;
donc u_{n + 1} - u_n est strictement positif pour n ∈ IN* ;
donc (u_n) est strictement croissante pour n ∈ IN* .
2.
a.
On a :
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1 - (n+1)}{1+(n+1)}=-\dfrac{n}{n+2}\ ;\\ \\\\donc\ :\ v_{n+1}-v_n=-\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{1-n}{1+n}=-\dfrac{n(n+1)+(n+2)(1-n)}{(n+2)(1+n)}\\\\\\=-\dfrac{n^2+n+n-n^2+2-2n}{(n+2)(1+n)}=-\dfrac{2}{(n+2)(1+n)}\ .[/tex]
b.
On a : - 2/((n + 2)(1 + n)) < 0 pour n ∈ IN ;
donc : pour tout n ∈ IN , v_{n + 1} - v_n < 0 ;
donc : (v_n) est strictement décroissante .
