Réponse :
Bonjour,
Très long comme devoir,
la prochaine fois scinde le en deux parties.
Explications étape par étape
I:
[tex]u_0=1\\u_n=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}} \\1)\\u_0=1>0\\u_n>0\ \longrightarrow\ u_{n+1}>0\ car\ u_n>0\ et\ \sqrt{u_n+1} >0 \\2)\\\dfrac{u_{n+1}}{u_n} =\dfrac{1}{\sqrt{u_n^2+1} } <1\\3)suite\ minor\'ee\ d\'ecroissante\\\\4)\\u_0=1\\u_1=\sqrt{\dfrac{1}{2} } \\u_2=\sqrt{\dfrac{1}{3} } \\u_3=\sqrt{\dfrac{1}{4} } \\u_4=\sqrt{\dfrac{1}{5} } \\u_5=\sqrt{\dfrac{1}{6} } \\\\u_n=\sqrt{\dfrac{1}{n+1} }[/tex]
b) Vraie pour n ==> vraie pour n+1
[tex]u_n=\sqrt{\dfrac{1}{n+1} } \\\\u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}} \\\\=\sqrt{\dfrac{1}{n+1} }*\dfrac{1}{\sqrt{\frac{1}{n+1}+1 } } \\=\sqrt{\dfrac{1}{n+2} } \\[/tex]
5)[tex]\lim_{n \to \infty} u_n =0\\[/tex]
II)
1)
[tex]u_0=1\\u_1=-1/2\\u_2=-3/4\\u_3=-7/8\\u_4=-15/16\\u_5=-31/32\\\\u_n=-\dfrac{2^n-1}{2^n} \\\\2)\\u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{u_n-1}{2} \\v_n=u_n-a\\\\v_{n+1}=u_{n+1}-a=\frac{u_n-1-2a}{2y} =k*v_n\\Donc\ k=\frac{1}{2} \ et\ -1/2-a=-ak \longrightarrow a=-1\\\\v_n=u_n+1\\v_0=u_0+1=2\\\\v_n=2*(\dfrac{1}{2} )^n\\\\u_n=2*(\dfrac{1}{2} )^n -1\\c)\\u_{n+1}-u_n=2*(\dfrac{1}{2} )^{n+1} -1-(2*(\dfrac{1}{2} )^n -1)=-1/2<0\\d\'ecroissante.\\\\[/tex]
[tex]d)\\\\\dfrac{1}{2^{n-1}} -1 < -1+10^{-4}\\\\2^{1-n}<10^{-4}\\(1-n)ln(2)<-4ln(10)\\n>14.2877...\\n\geq 15\\[/tex]
