Bonjour ;
1.
M ∈ [AC] ;
donc : AA ≤ AM ≤ AC ;
donc : 0 ≤ x ≤ 10 ;
donc : x ∈ I = [0 ; 10] .
2.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles ;
et les droites (MC) et (BN) se coupent au point A ;
donc en appliquant le théorème de Thalès ,
on a : MN/BC = AM/AC ;
donc : MN/8 = x/10 ;
donc : MN = 8/10 x ;
donc : MN = 4/5 x .
3.
a.
L'aire du triangle AMN est : 1/2 * MN * AM
= 1/2 * 4/5 x * x = 2/5 x² .
On a : MC = AC - AM = 10 - x ;
donc l'aire du rectangle MCDP est : MC * CD = 2(10 - x) = 20 - 2x .
Conclusion :
L'aire A(x) de la partie hachurée est la somme des aires du
triangle AMN et du rectangle MCDP , donc : A(x) = 2/5 x² - 2x + 20 .
b.
On a : A(x) = 2/5 x² - 2x + 20 = 2/5 (x² - 5x) + 20
= 2/5 (x² - 2 * 5/2 * x + (5/2)² - (5/2)²) + 20
= 2/5 (x² - 2 * 5/2 * x + (5/2)²) - 2/5 * (5/2)² + 20
= 2/5 (x - 5/2)² - 5/2 + 20
= 2/5 (x - 5/2)² - 5/2 + 40/2
= 2/5 (x - 5/2)² + 35/2 .
Comme le coefficient de second degré de A(x) est égal à : 2/5 > 0 ;
alors A est décroissante sur [0 ; 5/2] et croissante sur [5/2 ; 10] .
c.
A est décroissante puis croissante sur [0 ; 10] ;
donc elle est minimale pour la valeur de x qui annule la
partie carré de sa forme canonique : 5/2 ;
donc la valeur minimale de A est : A(5/2) = 35/2 .
4.
On a : 5 ≤ x ≤ 10 ;
donc : 5/2 ≤ x - 5/2 ≤ 15/2 ;
donc : 25/4 ≤ (x - 5/2)² ≤ 225/4 ;
donc : 25/4 + 35/2 ≤ (x - 5/2)² + 35/2 ≤ 225/4 + 35/2 ;
donc : 95/4 ≤ A(x) ≤ 295/4 .
5.
Si M est plus proche de A que de C , alors on a : 0 ≤ x < 5 ;
donc : - 5/2 ≤ x - 5/2 < 5/2 ;
donc : 0 ≤ (x - 5/2)² ≤ (5/2)² = 25/4 ;
donc : 35/2 ≤ (x - 5/2)² + 35/2 ≤ 25/4 + 35/2 ;
donc : 35/2 ≤ A(x) ≤ 95/4 .