propriété Pn : 10ⁿ + 1 est divisible par 9
propriété Pn+1 : 10ⁿ+¹ + 1 est divisible par 9 (on remplace n par n + 1)
hérédité :
on veut démontrer que si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie
question
10ⁿ+¹ + 1 est-il divisible par 9 ?
10ⁿ+¹ + 1 = 10 x 10ⁿ + 1 + 10 - 10
= 10 x 10ⁿ + 10 + 1 - 10
= 10(10ⁿ + 1) - 9
si la propriété Pn :" 10ⁿ + 1 est divisible par 9" est vraie alors 10(10ⁿ + 1)
est un multiple de 9 et la différence 10(10ⁿ + 1) - 9 de deux multiples de 9 est aussi un multiple de 9.
Cette propriété est héréditaire si la propriété est vraie au rang n elle est aussi vraie au rang n + 1
2)
pour démontrer par récurrence qu'une propriété est vraie pour tout n il faut montrer qu'elle est vraie au départ, et ensuite avec l'hérédité cela fait boule de neige
Si n = 1 la propriété P₁ "11 est divisible par 9 est fausse"
Jean a tort.
Dans une démonstration par récurrence la première partie "initialisation" est indispensable.
(depuis le début on se doute que la propriété est fausse
11; 101; 1001; 10001 ne sont pas de multiples de 9)
