Bonjour
On prend u et v appartenant à [0;∞ [ tels que
u<v
A. comme u>0,
u<v <=> u²<v² <=> u²+1<v²+1 donc f(u)<f(v) donc f est croissante sur [0;∞ [
B. On prend u et v appartenant à [0;∞ [ tels que
u<v
On va étudier le signe de g(u)-g(v)
g(u)-g(v)= √u-2-√v+2=√u-√v
√u-√v= (√u-√v)*(√u+√v)/(√u+√v)= (u-v)/(√u+√v)
(√u+√v) est positif donc l'expression est du signe de u-v.
Comme u<v, u-v<0 donc g(u)-g(v)<0 donc g(u)<g(v).
u<v, g(u)<g(v) donc g est croissante.
C. On prend u et v appartenant à [0;∞ [ tels que u<v
On va étudier le signe de h(u)-h(v)
h(u)-h(v)= 1/(u+1)-1 - 1/(v+1)+1= 1/(u+1) - 1/(v+1) = (v+1-u-1)/(u+1)(v+1)
=(v-u)/(u+1)(v+1)
u et v positifs donc (u+1)(v+1)>0 donc l'expression est du signe de v-u
or u<v donc v-u>0 donc h(u)-h(v)>0 donc h(u)>h(v).
on a donc u<v et h(u)>h(v) donc h est décroissante.
