Réponse :
P(x) = 0.5 x² - 0.5 x + c où c ∈ R
1) discuter, suivant les valeurs de c, du nombre de solutions réelles de l'équation P(x) = 0
P(x) = 0.5 x² - 0.5 x + c = 0
Δ = 0.25 - 2 c
si Δ > 0 ⇔ 0.25 - 2 c > 0 ⇔ 0.25 > 2 c ⇒ c < 0.25/2 = 0.125
lorsque c ∈ ]- ∞ ; 0.125[ alors P(x) possède deux solutions distinctes
si Δ = 0 ⇔ c = 0.125 alors P(x) possède une seule solution x = - b/2a = 0.5
si Δ < 0 ⇔ c ∈ ]0.125 ; + ∞[ alors P(x) n'a pas de solutions
2) on suppose c = - 1
a) résoudre dans R l'équation P(x) = 0 et l'inéquation P(x) < 0
P(x) = 0 = 0.5 x² - 0.5 x - 1 ⇔ 0.5(x² - x - 2) = 0 ⇔ x² - x - 2 = 0
⇔ (x - 2)(x+1) = 0 produit de facteurs nul
x - 2 = 0 ⇒ x = 2 ou x+1 = 0 ⇒ x = - 1
P(x) < 0 ⇔ (x-2)(x+1) < 0
x - ∞ - 1 2 + ∞
x-2 - - 0 +
x+1 - 0 + +
P(x) + 0 - 0 +
L'ensemble des solution de P(x) < 0 est : S = ]- 1 ; 2[
b) déterminer la forme canonique de P et en déduire son tableau de variation
P(x) = 0.5 x - 0.5 x - 1
la forme canonique de P(x) = a(x - α)² + β
a = 0.5
α = - b/2a = 0.5/1 = 0.5
β = f(0.5) = 0.5(0.5)² - 0.5*0.5 - 1
= 0.125 - 0.25 - 1 = - 1.125
P(x) = 0.5(x-0.5)² - 1.125
Tableau de variation
x - ∞ 0.5 + ∞
P(x) + ∞ →→→→→→→→→→ - 1.125 →→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
3) a) vérifier que, ∀x ∈R, P(x+1) - P(x) = x
0.5 (x+ 1)² - 0.5 (x+1) + c - (0.5 x² - 0.5 x + c)
0.5(x² + 2 x + 1) - 0.5 x - 0.5 + c - 0.5 x² + 0.5 x - c
0.5 x² + x + 0.5 - 0.5 x - 0.5 + c - 0.5 x² + 0.5 x - c
= x
b) montrer que, pour tout entier naturel non nul n on a;
P(n+1) -P(1) = 1 + 2 + 3 + ....+ n
0.5(n+1)² - 0.5(n+1) + c - 0.5 + 0.5 - c
0.5(n²+2n + 1) - 0.5 n - 0.5
= 0.5 n² + n + 0.5 - 0.5 n - 0.5
= 0.5 n² + 0.5 n
= 0.5 n(n+1)
pour n = 1 , 2, 3, ...n on obtient la somme suivante
P(n+1) -P(1) = 1 + 2 + 3 + .... + n
c) on en déduite que 1 + 2 +3 + ...+ n = 1/2 n(n+1)
Explications étape par étape
