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Problème de première S; ABCD est un rectanglede périmètre 24, de longueure AB et de largeur AD (donc AB≥AD). On appelle O son centre. On construit B' le symétrique de B par rapport à (AC) puis N le point d'intersection de [CD] et [AB']. On souhaite étudier les variations de l'aire du triangle ADN de la longueur AB. On note x=AB.
1/ Tracer la figure avec x=7 2/ Justifier que AD=12-x et que x ∈ [6;12] 3/ Dans le triangle ADN, exprimer AN² en fonction de x et DN 4/ a. Le triangle ADC est l'image de ABC par une transformation connue. Qu'elle est-elle? b. Montrer que ANC est isocèle en N. c. En déduire que AN=x-DN. 5/ Déduire des question 3 et 4c, que DN= 12-72/x 6/ Soit A(x) l'aire du triangle ADN a. Montrer que A(x) = 108-432/x-6x b. Etudier le sens de variation de la fonction A. c. Tracer sa représentation graphique (unités: 1cm en abscisses et 2cm en ordonnées) d. Pour quelle valeur x l'aire du triangle ADN est elle maximale? 7/a. Par lecture graphique, déterminer pour quelles valeurs de x on a A(x)≥6 b. Retrouver ce résultat par le calcul
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