Réponse :
U0 = 1 Un+1 = 0.2Un + 0.6
1) a) démontrer que la suite V définie par Vn = Un - 0.75 est géométrique
Vn+1/Vn = (Un+1 - 0.75)/(Un - 0.75
= (0.2Un + 0.6 - 0.75)/(Un - 0.75)
= (0.2Un - 0.15)/(Un - 0.75)
= 0.2(Un - 0.75)/(Un - 0.75)
= 0.2
Vn+1/Vn = 0.2 est une suite géométrique de raison q = 0.2 et de premier terme V0 = U0 - 0.75 = 1 - 0.75 = 0.25
on peut écrire Vn en fonction de n : Vn = V0 x qⁿ = 0.25 x (0.2)ⁿ
b) en déduire la limite de Vn
lim Vn = 0 car lorsque 0 < q < 1 lorsque n augmente qⁿ diminue
n→ + ∞
et lorsque n est très grand qⁿ se rapproche de 0
2) a) déterminer Un en fonction de n
Vn = Un - 0.75 ⇒ Un = Vn + 0.75
Un = 0.25 x (0.2)ⁿ + 0.75
b) en déduire en fonction de n l'expression
Sn = U0 + U1 + ...+ Un
= (1 + q + q² + ....+ qⁿ ) + 0.75/0.25
= (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) + 3
= (1 - (0.2)ⁿ⁺¹)/(1 - 0.2) + 3
= (1 - (0.2)ⁿ⁺¹)/0.8 + 3
= 1.25(1 - (0.2)ⁿ⁺¹) + 3
= 1.25 - 1.25(0.2)ⁿ⁺¹ + 3
= 4.25 - 1.25(0.2)ⁿ⁺¹
c) quelle est la limite de Sn
lim Sn = 4.25 car lim (0.2)ⁿ = 0
n→+∞ n→+∞
Explications étape par étape
