Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
f(a)=a²
f(b)=b²
[f(a)+f(b)]/2=(a²+b²)/2
f[(a+b)/2]=[(a+b)/2]²=(a²+2ab+b²)/4
Supposons que :
(a²+2ab+b²)/4 > (a²+b²)/2 qui donne :
a²+2ab+b² > 2(a²+b²) soit :
a²+2ab+b² > 2a²+2b² soit :
a²-2ab+b² < 0 soit :
(a-b)² < 0.
Un carré ne peut pas être < 0 donc notre supposition est aberrante.
Donc :
(a²+2ab+b²)/4 ≤ (a²+b²)/2 soit :
f[(a+b)/2 ] ≤ [f(a)+f(b)/2]
2)
L'ordonnée du milieu d'un segment reliant 2 points de la parabole y=x² est inférieure ou égale à la somme des ordonnées des extrémités de ce segment.
3)
f[(a+b)/2]=[(a+b/2]²
f[(a)+f(b)]/2=(a²+b²)/2
Mais : f[(a+b)/2 ] ≤ [f(a)+f(b)/2]
qui implique donc :
[(a+b)/2]² ≤ (a²+b²)/2 --->(1)
a et b sont 2 nombres positifs et sur [0;+inf[ , la fct carrée est strictement croissante. Donc l'inégalité (1) implique :
(a+b)/2 ≤ √[(a²+b²)/2]
