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Si la somme des chiffres d'un nombre N est divisible par 3,
alors N est divisible par 3 .
je vais le montrer pour un nombre de 4 chiffres
soit N un nombre de quatre chiffres m c d u
m chiffre des unités de mille
c chiffre des centaines
d chiffre des dizaines
u chiffre des unités
N = m c d u = 1000m + 100c + 10d + u =
999m + m + 99c + c + 9d + d + u =
999m + 99c + 9d + m + c + d + u =
3(333m + 33c + 3d) + (m + c + d + ) =
multiple de 3 + sommes des chiffres
N est donc la somme d'un multiple de 3 et de la somme de ses chiffres
Si la somme des chiffres est divisible par 3 alors elle peut s'écrire 3k ou k est un naturel
on a alors N = 3(333m + 33c + 3d) + 3k
= 3 x (333m + 33c + 3d + k)
et N est un multiple de 3 puisque produit de 3 par un entier
remarque : on voit avec ce raisonnement pourquoi la divisibilité par 9 est la même que par 3)
a:démontre que la somme ou la différence de deux multiples de 3 est un multiple de 3.
si n et n' sont deux multiples de 3 (n > n') alors il existe k et k' (entiers) tels que
n = 3k et n' = 3k
n + n' = 3k + 3k' = 3(k + k')
n - n' = 3k - 3k' = 3(k - k')
ces deux dernières égalités expriment que n + n' et n - n' sont des multiples de 3