Bonjour ;
1.
Si n = 1 ;
on a : 2n - 1 = 1 ;
donc : S1 = √1 = 1 .
Si n = 2 ;
on a : 2n - 1 = 3 ;
donc : S2 = √(1 + 3) = √4 = 2 .
Si n = 3 ;
on a : 2n - 1 = 5 ;
donc : S3 = √(1 + 3 + 5) = √9 = 3 .
2.
On remarque que : S1 = 1 ; S2 = 2 et S3 = 3 ;
donc on peut conjecturer que pour tout nombre entier
naturel non nul , on a : Sn = n .
3.
On va procéder par récurrence .
Initialisation :
On a déjà montré que pour n = 1 ; on a : S1 = 1 .
Hérédité :
Soit n un nombre entier naturel non nul .
Supposons qu'on a : Sn = n et calculons : S(n + 1) .
Tout d'abord on a : S²(n + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1)
= S²n + 2n + 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)² ;
donc : S(n + 1) = n + 1 .
Conclusion :
Pour tout nombre entier naturel non nul , on a : Sn = n .