Participez aux discussions sur FRstudy.me et obtenez des réponses pertinentes. Obtenez des réponses complètes et fiables de notre communauté de professionnels expérimentés, prêts à vous aider avec toutes vos questions.
Sagot :
Réponse : Bonjour,
1) Montrons que [tex]f_{1}[/tex] est injective.
Soient [tex]x_{1}, x_{2} \in [0;1][/tex], tel que [tex]f_{1}(x_{1})=f_{1}(x_{2})[/tex], et montrons que [tex]x_{1}=x_{2}[/tex].
[tex]f_{1}(x_{1})=f_{1}(x_{2})\\1-x_{1}=1-x_{2}\\x_{2}-x_{1}=1-1=0\\x_{1}=x_{2}[/tex]
Donc [tex]f_{1}[/tex] est injective.
Montrons que [tex]f_{1}[/tex] est surjective, c'est à dire que pour tout [tex]x_{2} \in [0;1][/tex], l'équation [tex]f_{1}(x)=x_{2}[/tex].
[tex]f_{1}(x)=x_{2}\\1-x=x_{2}\\x=1-x_{2}\\Or \; 0 \leq x_{2} \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq -x_{2} \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq 1-x_{2} \leq 1 \Leftrightarrow x \in [0;1][/tex].
Donc à chaque [tex]x_{2} \in [0;1][/tex], correspond un antécédent [tex]x \in [0;1][/tex], [tex]f_{1}[/tex] est donc surjective.
Donc [tex]f_{1}[/tex] est une bijection de [tex][0;1] \rightarrow [0;1][/tex].
On calcule la fonction réciproque [tex]f_{1}^{-1}[/tex].
On a:
[tex]f_{1}(f_{1}^{-1}(x))=x\\1-f_{1}^{-1}(x)=x\\f_{1}^{-1}(x)=1-x\\[/tex].
2) Montrons que [tex]f_{2}[/tex] est injective. Soient [tex]x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}-{1}[/tex], tel que [tex]f(x_{1})=f(x_{2})[/tex]:
[tex]f(x_{1})=f(x_{2})\\\frac{x_{1}+1}{x_{1}-1}=\frac{x_{2}+1}{x_{2}-1}\\ (x_{1}+1)(x_{2}-1)=(x_{1}-1)(x_{2}+1)\\x_{1}x_{2}-x_{1}+x_{2}-1=x_{1}x_{2}+x_{1}-x_{2}-1\\-2x_{1}+2x_{2}=0\\2(-x_{1}+x_{2})=0\\-x_{1}+x_{2}=0\\x_{1}=x_{2}[/tex].
Donc [tex]f_{2}[/tex] est injective.
Montrons que [tex]f_{2}[/tex] est surjective. Soit [tex]x_{2} \in \mathbb{R}- \{1\}[/tex], montrons qu'il existe [tex]x \in \mathbb{R}-\{1\}[/tex], tel que [tex]f_{2}(x)=x_{2}[/tex].
[tex]f_{2}(x)=x_{2}\\\frac{x+1}{x-1}=x_{2}\\ x+1=x_{2}(x-1)\\x-x_{2}x=-x_{2}-1\\x(1-x_{2})=-x_{2}-1\\x=\frac{-x_{2}-1}{1-x_{2}}=\frac{-(1+x_{2})}{-(-1+x_{2})}=\frac{x_{2}+1}{x_{2}-1} \quad x_{2} \ne 1[/tex].
Donc à chaque [tex]x_{2} \in \mathbb{R}-\{1\}[/tex], correspond un antécédent [tex]x \in \mathbb{R}-\{1\}[/tex].
Donc [tex]f_{2}[/tex] est surjective. Par suite [tex]f_{2}[/tex] est bijective.
Déterminons sa fonction réciproque [tex]f_{2}^{-1}[/tex]:
[tex]\displaystyle f_{2}(f_{2}^{-1}(x))=x\\\frac{1+f_{2}^{-1}(x)}{f_{2}^{-1}(x)-1}=x\\1+f_{2}^{-1}(x)=x({f_{2}^{-1}(x)-1) \quad f_{2}^{-1}(x)(1-x)=-x-1 \quadf_{2}^{-1}(x)=\frac{-x-1}{1-x}=\frac{-(x+1)}{-(-1+x)}=\frac{x+1}{x-1}\\[/tex].
3) Montrons que [tex]f_{3}[/tex] est injective. Soient [tex]x_{1},x_{2} \in [0;1][/tex], tel que [tex]f_{3}(x_{1})=f_{3}(x_{2})[/tex], montrons que [tex]x_{1}=x_{2}[/tex].
[tex]f_{3}(x_{1})=f_{3}(x_{2})\\1-x_{1}^{2}=1-x_{2}^{2}\\x_{2}^{2}-x_{1}^{2}=1-1\\(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})=0\\x_{2}-x_{1}=0 \quad ou \quad x_{2}+x_{1}=0\\x_{2}=x_{1} \quad ou \quad x_{2}=-x_{1}[/tex].
Puisque [tex]x_{2} \in [-1;1] \; alors \; -x_{1} \in [-1;1][/tex], donc la deuxième équation a bien un sens dans [-1;1].
On en déduit que [tex]f_{3}[/tex] n'est pas injective, et donc non bijective de [tex][-1;1] \rightarrow [0;1][/tex].
4) Montrons que [tex]f_{4}[/tex] est injective. Le raisonnement est le même que pour [tex]f_{3}[/tex], puisque c'est la même expression, mais ici [tex]x_{1}, x_{2} \in [0;1][/tex], mais dans ce cas [tex]x_{2}=-x_{1}[/tex] n'a pas de sens car [tex]x_{1} \in [0;1][/tex] et [tex]x_{2}=-x_{1} \ne [0;1][/tex].
On ne garde que la première équation, donc pour tous [tex]x_{1}, x_{2} \in [0;1][/tex], tel que [tex]f(x_{1})=f(x_{2})[/tex], implique [tex]x_{1}=x_{2}[/tex].
[tex]f_{4}[/tex] est donc bien injective de [tex][0;1] \rightarrow [0;1][/tex].
Montrons que [tex]f_{4}[/tex] est surjective de [tex][0;1] \rightarrow [0;1][/tex].
Soit [tex]x_{2} \in [0;1][/tex], montrons que l'équation [tex]f_{4}(x)[/tex] a une solution.
[tex]f_{4}(x)=x_{2}\\1-x^{2}=x_{2}\\x^{2}=1-x_{2}\\x=\sqrt{1-x_{2}} \quad ou \quad x=-\sqrt{1-x_{2}}[/tex].
Seule la solution [tex]x=\sqrt{1-x_{2}} \in [0;1][/tex].
Vérifions que cette solution est bien définie, c'est à dire que [tex]1-x_{2} \geq 0[/tex]:
[tex]0 \leq x_{2} \leq 1\\-1 \leq -x_{2} \leq 0\\0 \leq 1-x_{2} \leq 1[/tex].
Donc la solution est bien définie.
Enfin, montrons que cette solution appartient bien à l'intervalle [0;1]:
[tex]0 \leq 1-x_{2} \leq 1\\\sqrt{0} \leq \sqrt{1-x_{2}} \leq \sqrt{1} \quad car \; la \; fonction \; racine \; carree \; est \; croissante\\ 0 \leq x \leq 1[/tex].
[tex]x \in [0;1][/tex], donc chaque solution de l'équation [tex]f_{4}(x)=x_{2}[/tex], appartient bien à l'ensemble de départ de [tex]f_{4}[/tex].
[tex]f_{4}[/tex] est donc surjective, et donc bijective de [tex][0;1] \rightarrow [0;1][/tex].
Déterminons sa fonction réciproque [tex]f_{4}^{-1}[/tex]:
[tex]f_{4}(f_{4}^{-1}(x))=x\\1-(f_{4}^{-1}(x))^{2}=x\\(f_{4}^{-1}(x))^{2}=1-x\\f_{4}^{-1}(x)=\sqrt{1-x} \quad ou \quad f_{4}^{-1}(x)=-\sqrt{1-x}[/tex].
Seule la solution [tex]f_{4}^{-1}(x)=\sqrt{1-x} \in [0;1][/tex], donc la fonction réciproque recherchée est celle-ci.
Merci d'être un membre actif de notre communauté. Continuez à poser des questions, à répondre et à partager vos idées. Ensemble, nous pouvons atteindre de nouveaux sommets de connaissances. FRstudy.me est votre partenaire de confiance pour toutes vos questions. Revenez souvent pour des réponses actualisées.
