résoudre l'équation
x⁴ + 5 x³ + 6x² + 5x + 1 = 0
0 n'est pas solution de cette équation. On pose x ≠ 0
la méthode qui suit concerne les équations dans laquelle les coefficients sont symétriques par rapport à celui du milieu : 1 5 6 5 1
a)
on divise les deux membres par x²
x² + 5x + 6 + 5/x + 1/x² = 0
l'énoncé indique un changement de variable X = x + 1/x
(1) x² + 1/x² + 6 + 5(x + 1/x) = 0 on voit apparaître 5X,
on cherche X dans x² + 1/x² + 6
(x + 1/x)² = x² + 2x*1/x 1/x² = x² + 2 + 1/x²
X² = x² + 1/x² + 2
x² + 1/x² = X² - 2
on remplace dans (1)
X² - 2 + 6 + 5X = 0
X² + 5X + 4 = 0
en faisant ce changement de variable on se ramène à une équation du second degré en X
b)
on résout X² + 5X + 4 = 0
Δ = 25 - 4x4 = 9 = 3²
racines X1 =( -5 -3)/2 = - 4 X2 = (-5 + 3)/2 = -1
c) on revient à x, on a deux équations à résoudre
x + 1/x = -4 et x + 1/x = -1
x² + 1 = - 4x x² + 1 = -x
x² + 4x + 1 = 0 x² + x + 1 = 0
Δ = 12 Δ = - 3
je te laisse terminer
