Réponse : Bonsoir,
Initialisation: A l'ordre n=1
[tex]\frac{1}{1 \times 2}=\frac{1}{2}\\1-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex].
Donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=1.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que:
[tex]\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}[/tex] et montrons là à l'ordre n+1.
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}[/tex], donc:
[tex]\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\=\frac{(n+1)(n+2)-(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^{2}+2n+n+2-n-2+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}\\=\frac{n+1}{n+2}=\frac{n+2-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n.