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Bonjour, je suis en terminale, j'ai cet exercice à faire sur les suites et j'aurais besoin d'aide :
L’entreprise « Fonteau » installée dans le marché des fontaines à eau pour les entreprises
d’une grande ville a observé que, chaque année, elle conserve 80% de sa clientèle et qu’elle
enregistre l’arrivée de 70 nouvelles entreprises clientes.
En 2016, elle compte 300 entreprises clientes.
On note le nombre d’entreprises clientes l’année 2016 + . On a donc 0 = 300
1) Justifier que, pour tout entier , +1 = 0,8 + 70.
2) on pose, pour tout entier , = − 350
a) Montrer que la suite (
) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme.
b) Exprimer en fonction de puis en fonction de .
c) On suppose qu’à long terme l’évolution reste la même. La capacité de gestion et de
production de cette société ne lui permet de s’occuper que de 400 entreprises clientes au
maximum. Doit-on lui conseiller d’investir pour pouvoir augmenter sa production ?

Merci d'avance

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Tu n'as pas dû relire ton énoncé !!

1)

D'une année sur l'autre , la société conserve 80% de sa clientèle donc le nombre de clients de l'année "n" est multiplié par 80/100 soit 0.8 pour donner le nb de clients de l'année "n+1" auxquels il faut ajouter 70 nouveaux. Donc :

U(n+1)=0.8*U(n)+70

2)

a)

Je suppose que c'est :

V(n)=-350+U(n)

qui donne :

V(n+1)=-350+U(n+1) soit :

V(n+1)=-350+0.8*U(n)+70 soit :

V(n+1)=-280+0.8*U(n) soit :

V(n+1)=0.8[-350+U(n)] soit :

V(n+1)=0.8*V(n)

qui prouve que V(n) est une suite géométrique de raison q=0.8 et de 1er terme V(0)=-350+U(0)=-350+300=-50

b)

On sait que pour une suite géométrique :

V(n)=V(0)*q^n qui donne ici :

V(n)=-50*0.8^n

Comme U(n)=V(n)+350 , alors :

U(n)=-50*0.8^n+350

c)

limite 0.8^n=0 quand n tend vers +infini car : -1<0.8<1

Donc :

lim -50*0.8^n+350=-50*0+350=350

n---->+inf

Oui on peut lui conseiller d'investir puisqu'elle atteindra au maximum 350 clients.

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