Bonjour ;
1.
Soit ABC un triangle rectangle presque isocèle en B ;
avec : BA = x + 1 ; BC = x et AC = y ;
donc en appliquant le théorème de Pythagore ,
on a : AC² = BA² + BC² ;
donc : y² = (x + 1)² + x² = x² + 2x + 1 + x² = 2x² + 2x + 1 .
Supposons maintenant qu'on a deux nombres entiers naturels
tels que : y² = 2x² + 2x + 1 ;
donc : y² = x² + x² + 2x + 1 = x² + (x + 1)² ;
donc le triangle dont les côtés mesurent respectivement
x ; x + 1 et y est un triangle rectangle presque isocèle .
Conclusion.
Le couple de nombres entiers naturels (x ; y) définit un triangle
rectangle presque isocèle si et seulement si : y² = 2x² + 2x + 1 .
2.
a.
On a : y² = 2x² + 2x + 1 = 2(x² + x) + 1 .
Comme x est un nombre entier naturel alors x² est un
nombre entier naturel ;
donc x² + x est un nombre entier naturel ;
donc y² = 2(x² + x) + 1 est un nombre entier naturel impair .
Supposons que y est pair ;
donc il existe k un nombre entier naturel tel que : y = 2k ;
donc y² = (2k)² = 4k² = 2(2k²) .
Comme k est un nombre entier nature alors k² est un nombre
entier naturel ; donc 2k² est un nombre entier naturel ;
donc y² = 2(2k²) est un nombre entier naturel pair , ce qui est
en contradiction avec le résultat trouvé plus haut , donc y est un
nombre entier naturel impair .
b.
d est un diviseur commun de x et y ; donc il existe X et Y deux
nombres entiers naturels non nuls tels que : x = dX et y = dY ;
donc : y² - 2x² - 2x = (dY)² - 2(dX)² - 2(dX)
= d²Y² - 2 d²X² - 2dX = d(dY² - 2dX² - 2X) .
On a aussi y² = 2x² + 2x + 1 ;
donc : y² - 2x² - 2x = 1 ;
donc : d(dY² - 2dX² - 2X) = 1 ;
donc : d divise 1 .
c.
Le seul diviseur entier naturel de 1 est 1 ;
et comme d est un diviseur de 1 alors d ne peut prendre
comme valeurs que 1 .
3.
a.
On complète l'algorithme par : 1000 ; 1000 ; y² = 2x² + 2x + 1 .
b.
On voit bien que y ne prend que des valeurs impairs :
5 ; 29 ; 169 et 985 .
De plus on a :
Le seul diviseur de 3 et 5 est : 1 ;
le seul diviseur de 20 et 29 est : 1 ;
le seul diviseur de 119 et 169 est : 1 ;
et le seul diviseur de 696 et 985 est : 1 .
