Bonsoir
a) ABCDEF est un hexagone régulier.
La longueur de ses côtés est égale au rayon du cercle.
b) [tex]\widehat{AOB}=\dfrac{1}{6}\times360^o=60^o[/tex]
Le triangle AOB est isocèle puisque OA = OB = rayon du cercle.
===> Les angles de sommets A et B sont égaux.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°, soit AOB + OAB + OBA = 180°
Puisque l'angle AOB = 60°, nous avons
60° + OAB + OBA = 180°
OAB + OBA = 180° - 60°
OAB + OBA = 120°
OAB + OAB = 120°
2 * OAB = 120°
OAB = 60°, et également OBA = 60°
Par conséquent, le triangle AOB est équilatéral.
c) ABCO est un losange car AB = BC = CO = OA = rayon du cercle.
d) Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires en leurs milieux.
Donc [AC] est perpendiculaire à [BO]
L'angle AMO = 90° ===> le triangle AMO est rectangle en M.
e) AO = 10
M est le milieu de [BO] ===> MO = 5
Par Pythagore dans le triangle AMO,
AM² + MO² = AO²
AM² + 5² = 10²
AM² + 25 = 100
AM² = 100 - 25
AM² = 75
[tex]AM = \sqrt{75}\approx8,7[/tex]
Donc AM ≈ 8,7 cm.
Aire AMO = 1/2 * MO * AM
= 1/2 * 5 * 8,7
= 21,75 cm²
≈ 21,8 cm²
f) L'aire du losange ABCO = 4 * Aire AMO
= 4 * 21,8
= 87,2 cm².
L'aire de l'hexagone ABCDEF = 3 * aire du losange ABCO
= 3 * 87,2
= 261,6 cm².
g) Soit le point N sur le grand arc AB;
Alors les angles ANB et AOB interceptent le même arc AB.
D'où angle ANB = 1/2 * angle AOB
= 1/2 * 60°
= 30°
Soit le point N' sur le petit arc AB.
Alors angle AN'B = 180° - angle ANB
= 180° - 30°
= 150°.
