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Bonjour, NIV lycée Ts
Je suis bloquer dans mon DM pour l'instant tout est bon mais mainteant je dois faire l'inverse selà veut dire que je dois faire " si est selement si (1+Z)/(1-Z) ∈iR, montrons alors que |Z|=1.
Merci de bien vouloir me répondre je dois rendre ce DM demain.

Bonjour NIV Lycée Ts Je Suis Bloquer Dans Mon DM Pour Linstant Tout Est Bon Mais Mainteant Je Dois Faire Linverse Selà Veut Dire Que Je Dois Faire Si Est Seleme class=

Sagot :

Réponse : Bonsoir,

Montrons que si [tex]\frac{1+Z}{1-Z} \in i\mathbb{R}[/tex], alors [tex]|Z|=1[/tex].

On pose Z=a+ib.

[tex]\frac{1+Z}{1-Z}=\frac{1+a+ib}{1-a-ib}=\frac{(1+a+ib)(1-a+ib)}{(1-a)^{2}-(ib)^{2}}=\frac{1-a+ib+a-a^{2}+abi+ib-aib-b^{2}}{1-2a+a^{2}+b^{2}}\\=\frac{1-a+a-a^{2}-b^{2}+(b+ab+b-ab)i}{a^{2}+b^{2}-2a+1}=\frac{1-a^{2}-b^{2}+2bi}{a^{2}+b^{2}-2a+1}\\\frac{1+Z}{1-Z} \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow 1-a^{2}-b^{2}=0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=1 \Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}=1 \Leftrightarrow |Z|=1[/tex].

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