Bonsoir,
Supposons que √2 est rationnel, donc ils existent p dans Z et q dans Z privé de 0 tel que √2=p/q.
En élevant au carré, on a q²=p²/2. Comme q est entier, q² est entier également, de même que p².
Si p est impair, q² n'est pas entier donc p est forcement pair. Si p est pair, p² est nécessairement un multiple de 4 donc q² est encore pair i.e q est pair .
Donc ils existent k, k' entiers relatifs tels que q=2k et p=2k'
d'où 4k²=2k'² i.e k²=k'²/2
On retombe sur la même relation que précédemment, et ainsi de suite, d'après le principe de descente infinie, ceci est absurde car q et p ne peuvent pas admettre une infinité de diviseurs.
