1² + 2² +.............+ n² = n(n+1)(2n + 1)/6 ( propriété que je nomme P(n))
(c'est plus pratique pour moi d'écrire la somme que de mettre les sigmas)
1)
initialisation: on vérifie que la propriété est vraie pour le rang 1
P(1) : 1² = 1(1+1)(2+1)/6 c'est bon
2)
hérédité
on démontre que si la propriété est vraie pour le rang n, alors elle est vraie pour le rang n+1
Si P(n) 1² + 2² +...+.n² = n(n+1)(2n+1)/6 vraie
alors P(n+1) 1² + 2² +......+ n² + (n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 vraie
(on a remplacé n par n+1)
on part de 1² + 2² +......+ n² + (n+1)² pour aboutir à (n+1)(n+2)(2n+3)/6 (1)
[1² + 2² +......+ n²] + (n+1)² = on associe les termes entre [ ] P(n) vraie donc
n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)² = on met n+1 en facteur et
(n+1)[n(2n+1)/6 + 6(n+1/6)] = on réduit au dénominateur 6
(n+1)[n(2n+1)+ 6(n+1)]/6 = on calcule dans les crochets
(n+1)(2n²+7n+6)/6 (2)
comme on veut arriver à (1) il faut contrôler que (2) = (1)
pour cela il suffit de vérifier que (n+2)(2n+3) est égal à 2n² + 7n + 6
c'est juste
en résumé : on est parti de 1² + 2² +......+ n² + (n+1)²
on a utilisé P(n) vraie en remplaçant 1² + 2² +......+ n² par n(n+1)(2n+1)/6
et on a obtenu (n+1)(n+2)(2n+3)/6
3)
conclusion
puisque la propriété est vraie pour le rang 1 et qu'elle est héréditaire alors elle est vraie pour tout n (à partir de 1)
