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JonasM
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Bonsoir, alors voilà ça fait quasiment 1h que je me casse la tête à essayer de faire cet exercice sur les vecteurs. Si quelqu'un s'y connaît et pourrait m'aider, ce serait génial, car c'est pressé !

(PS: je vais employer *→* pour désigner la flèche du vecteur au dessus des lettres ; par exemple →AB veut dire vecteur AB. J'ai pas trouvé d'autres symboles y correspondant le plus. Si c'est pas clair dite le moi !)

Soient A,B et C trois points du plan.
E et F sont les points tels que →AE = →AB + 2→AC et →BF = 2/3 →BC
1) Faire la figure
2) En utilisant la relation de Chasles, démontrez que →AF = 1/3 →AB + 2/3 →AC
3) Démontrez que les points A,E et F sont alignés.

J'espère avoir été assez clair, merci à ceux qui prendront la peine de lire.

Sagot :

Réponse :

1) faire la figure

vect(AE) = vect(AB) + 2 vect(AC)  pour placer le point E ; le vecteur AE est la résultante du vecteur AB et du vecteur 2 x AC; on obtient un parallélogramme

de diagonale vect(AF)

pour le F  il est placé sur la droite BC  à 2/3 à partir de B

2) en utilisant la relation de Chasles, démontrer que

vect(AF)  = 1/3 vect(AB) + 2/3vect(AC)

Relation de Chasles : vect(AF) = vect(AB) + vect(BF)

vect (AF) = vect(AB) + 2/3 vect(BC)

or vect(BC) = vect(BA) + vect(AC)   relation de Chasles

vect(BA) = - vect(AB)

donc  vect(AF) = vect(AB) + 2/3( vect(BA) + vect(AC))

                        = vect(AB) + 2/3 (- vect(AB) + 2/3 vect(AC)

                        = vect(AB) - 2/3 vect(AB) + 2/3vect(AC)

                        = 1/3 vect(AB) + 2/3 vect(AC)

3) démontrer que les points A, E et F sont alignés

il suffit de montrer que le vect(AE) et le vect(AF) sont colinéaires

s'il existe un réel k tel que vect(AE) = k vect(AF)

vect(AE) = vect(AB) + 2 vect(AC) =  (1/3 vect(AB) + 2/3 vect(AC)  

⇔ vect (AE) = 1/3(vect(AB) + 2vect(AC))

donc vect(AE) = 1/3vect(AF)   ici k = 1/3

puisque les vect(AE) et vect(AF) sont colinéaires on en déduit que les points A ; E et F sont alignés  

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