Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
3)a[tex]u_0=1\\u_{n+1}=\frac{1}{3} u_n+n-2\\v_n=-2u_n+3n-\frac{21}{2} \\\\v_{n+1}=-2(u_{n+1}+3(n+1)-\frac{21}{2} \\=\frac{1}{3} (-2u_n+3n)-\frac{7}{2} \\\\=\frac{1}{3} (-2u_n+3n-\frac{21}{2} )\\\\v_{n+1}=\frac{1}{3} *v_n\\\\raison=\frac{1}{3} \\v_0=-2u_0+3*0-\frac{21}{2} =-\frac{25}{2}[/tex]
3)b
[tex]v_n=-\frac{25}{2} *(\frac{1}{3} )^n\\\\u_n=\dfrac{-v_n+3n-\frac{21}{2} }{2} \\\\\boxed{u_n=\frac{25}{4}(\frac{1}{3} )^n+\frac{3}{2} n-\frac{21}{4} }[/tex]
3c)
[tex]S_n=\sum_{k=0}^n\ u_k\\\\=\sum_{k=0}^n\ (\frac{25}{4} (\frac{1}{3} )^k+\frac{3}{2} k-\frac{21}{4} )\\\\=(\sum_{k=0}^n\ -\frac{21}{4})+\\\\\sum_{k=0}^n\ +\frac{3}{2} k+\\\\\sum_{k=0}^n\ \frac{25}{4} (\frac{1}{3} )^k\\\\=-(n+1)*\frac{21}{4} +\frac{3}{4} n(n+1) +\frac{25}{4} *\dfrac{(\frac{1}{3})^{n+1}-1) }{\frac{1}{3}-1 } \\\\=\frac{3}{4} (n^2-\frac{75}{2}*(\frac{1}{3})^{n+1}+\frac{73}{2} )[/tex]
