n = 5
S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
+ S5 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1
-------------------------------------------------
2 S5 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 il y a cinq termes égaux à 6
2S5 = 5 x 6
S5 = (5 x 6)/2 S5 = 15
n = 11
S11 = 1 + 2 + 3 + ..... + 10 + 11
+ S11 = 11 + 10 + 9 + .... + 2 + 1
----------------------------------------------------------
2S11 = 12 + 12 + 12 + ...... + 12 + 12
il y a 11 termes égaux à 12
2S11 = (11 x 12)
S11 = (11 x 12) / 2
n quelconque
Sn = 1 + 2 + 3 + ........... + (n-2) + (n-1) + n
+ Sn = n + (n-1) + (n-2) + ............+ 3 + 2 + 1
----------------------------------------------------------------------------------
2Sn = (n+1) + .............................................................. + (n+1)
en additionnant terme de la ligne du dessous avec le terme de la ligne du dessus on trouve
(n-1) + 2 = n + 1
(n-2) + 3 = n + 1
ces sommes sont toutes égales à (n + 1) et il y en a n
d'où 2Sn = n(n + 1)
Sn = n(n+ 1)/ 2
cette formule donne la somme des n premiers naturels
Pour vérifier la formule avec 5 on remplace n par 5
S5 = 5(5 + 1)/2 = (5 x 6) /2 = 15
Pour n = 17
S17 = (17 x 18)/2
= 17 x 9 = 153