Bonsoir
ABCD est un rectangle en A
tel que AB = 10 cm et BC = 8 cm.
N est un point mobile sur le segment [BC].
On note x la longueur en centimètres de (BN).
M et P sont les points respectifs de (AB) et
(CD) tels que AM = BN = CP = x.
Le but de cet exercice est de déterminer où placer N sur le segment [BC] pour que l'aire de la surface jaune, la somme des aires des triangles BMN et CNP, soit maximale.
1. Justifier que x E (0;8].
Comme x est égale à la longueur BN et que N se trouve sur [BC] alors x est compris entre 0 et 8, puisque BC fait 8 cm
2. Exprimer BM en fonction de x.
BM = AB - AM = 10 - x
3. Exprimer CN en fonction de x.
CN = BC - BN = 8 - x
4. Montrer que l'aire du triangle BMN est égale à 10x - * ??
A = BM * BN / 2
A = (10 - x) * x / 2
A = (10x - x^2)/2
A = 5x - x^2/2
5. On note f la fonction qui à la longueur x associe l'aire totale de la surface jaune.
Vérifier que l'on a f(x) = 9x - x?
f(x) = 5x - x^2/2 + (CP * CN)/2
f(x) = 5x - x^2/2 + [x * (8 - x)]/2
f(x) = 5x - x^2/2 + (8x - x^2)/2
f(x) = 5x - x^2/2 + 4x - x^2/2
f(x) = -x^2 + 9x
6. a) Montrer que f(x) = -(x - 4,5)^2 + 20,25,
f(x) = -(x^2 - 9x + 20,25) + 20,25
f(x) = -x^2 + 9x - 20,25 + 20,25
f(x) = -x^2 + 9x
b) En déduire la solution au problème posé,
f(x) = -x^2 + 9x
