Bonjour,
1ère ligne :
[tex]\vec{DE}=\vec{DA}+\vec{AE}\ \ \ par\ Chasles\\\\\vec{DE}=\vec{DA}+\dfrac{3}{2}\vec{AC}\ \ \ car\ \ \vec{AE}=\dfrac{3}{2}\vec{AC}
[/tex]
2ème ligne :
[tex]\vec{DE}=\vec{DA}+\dfrac{3}{2}\vec{AC}\\\\\vec{DE}=\vec{DC}+\vec{CA}+\dfrac{3}{2}\vec{AC}\ \ \ par\ Chasles\\\\\vec{DE}=\vec{DC}+\vec{CA}+(\dfrac{2}{2}\vec{AC}+\dfrac{1}{2}\vec{AC})\\\\\vec{DE}=\vec{DC}+\vec{CA}+\vec{AC}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\\\\\vec{DE}=\vec{DC}+\vec{0}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\ \ \ car\ \ \vec{CA}+\vec{AC}=\vec{0}\\\\\vec{DE}=\vec{DC}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\\\\\vec{DE}=\vec{CB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\ \ \ car\ \ \vec{CD}=-\vec{CB}\ \ \Longrightarrow\ \vec{DC}=\vec{CB}[/tex]
3ème ligne
[tex]\vec{DE}=\vec{CB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\\\\\vec{DE}=\vec{CA}+\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\ \ par\ Chasles\\\\\vec{DE}=\vec{AB}+\vec{CA}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\ \ \ car\ \ \vec{CA}+\vec{AB}=\vec{AB}+\vec{CAB}\\\\\vec{DE}=\vec{AB}-\vec{AC}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\\\\\vec{DE}=\vec{AB}-\dfrac{2}{2}\vec{AC}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\\\\\vec{DE}=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AC}[/tex]
4ème ligne
[tex]\vec{EF}=\vec{EA}+\vec{AB}+\vec{BF}\ \ \ par\ Chasles\\\\\vec{EF}=\dfrac{3}{2}\vec{CA}+\vec{AB}+\vec{BF}\ \ car\ \ \vec{AE}=\dfrac{3}{2}\vec{AC}\\\\\vec{EF}=-\dfrac{3}{2}\vec{AC}+\vec{AB}-2\vec{BA}\ \ car\ \ \vec{CA}=-\vec{AC}\ \ et\ \ \vec{BF}=-2\vec{BA}\\\\\vec{EF}=-\dfrac{3}{2}\vec{AC}+\vec{AB}+2\vec{AB}\ \ car\ \ -\vec{BA}=\vec{AB}\\\\\vec{EF}=-\dfrac{3}{2}\vec{AC}+3\vec{AB}[/tex]
5ème ligne.
[tex]\vec{EF}=-\dfrac{3}{2}\vec{AC}+3\vec{AB}\\\\\vec{EF}=3(-\dfrac{1}{2}\vec{AC}+\vec{AB})\\\\\vec{EF}=3(\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AC})\\\\\vec{EF}=3\vec{DE}\ \ car\ \ \vec{DE}=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AC}[/tex]
Donc les points D, E et F sont alignés par les vecteurs [tex]\vec{DE}[/tex] et [tex]\vec{EF}[/tex] sont colinéaires.
