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Sagot :
Bonjour ;
1.
On a : lim(x --> 0+) ln(x) = - ∞ et lim(x --> 0+) - k x² + 1 = 1 ;
donc : lim(x --> 0+) fk(x) = lim(x --> 0+) ln(x) - k x² + 1 = - ∞ .
2.
a.
Pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[ , on a : x < x² ;
donc pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[ , on a : 0 < 1/x² < 1/x ;
donc pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[ , on a : 0 < ln(x)/x² < ln(x) car sur ]1 ; + ∞[ est
strictement positif ;
donc : 0 ≤ lim(x --> + ∞) ln(x)/x² ≤ lim(x --> + ∞) ln(x)/x = 0 ;
donc : lim(x --> + ∞) ln(x)/x² = 0 .
b.
On a : lim(x --> + ∞) 1/x² = 0 .
lim(x --> + ∞) fk(x) = lim(x --> + ∞) ln(x) - k x² + 1
= lim(x --> + ∞) x²(ln(x)/x² - k + 1/x²) = - ∞ ;
car : lim(x --> + ∞) x² = + ∞ et lim(x --> + ∞) ln(x)/x² - k + 1/x² = - k .
3.
Pour tout x ∈ ]0 ; + ∞ [ on a : (ln(x))' = 1/x et (- kx² + 1 )' = (- kx²)' + (1)'
= - 2kx + 0 = - 2kx ;
donc : f'k(x) = (ln(x) - k x² + 1)' = (ln(x))' + (- k x² + 1)'
= 1/x - 2 kx = (1 - 2kx²)/x .
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