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Bonjour j'ai un devoir maison à rendre pour le 28/10 et le deuxième exercice me pose vraiment problème alors j'ai décidé de poster l'énoncé ici en espérant que quelqu'un puisse m'aider, merci à ceux qui essaieront!

Exercice 2: Rotation
On se place dans le plan complexe. On note Ω le point d'affixe 1+i . A un point d'affixe
M (z) on fait correspondre le point M '(z') vérifiant :
ΩM =ΩM '
(ΩM ,Ω ?M ')≡ π/3 (2π)

Cette application est appelée rotation d'angle π/3 et de centre Ω.

1°) Quel est l'image de Ω par cette transformation ?

La transformation est une rotation de 60°, mais si Ω est le centre alors je ne vois pas comment on peut trouver son image? Ce n'est pas lui qui est le sujet de la transformation mais plutôt le point M'qui est l'image du point M par la rotation de centre Ω et d'angle 60°?
J'ai essayé de chercher mais je ne comprends toujours pas et comme les autres questions dépendent de la transformation je suis bloquée...

2°) On prend le point B d'affixe 3+i . Faire une figure et tracer le B' l'image de B par cette transformation.

3°)Montrer que (z' −z A) / (z−z A) =eiπ/3

4°) En déduire une expression de z' en fonction de z.

5°) Soit C(5+6 i)

a) Calculer l'affixe de C' et B'

b) Calculer l'affixe de I milieu de [CB]

c) Calculer l'affixe de I ' image de I par la transformation

d) Montrer que I ' est le milieu de [C ' B' ] .

6°) Soit d et e∈C et D et E les points d'affixes e et d . On note E' et D ' lees images de D et E .
Montrer que D ' E '=ED.

Sagot :

Laurance

Réponse :

Explications étape par étape

1°) Quel est l'image de Ω par cette transformation ? C'est Ω

car  ΩΩ =ΩΩ ' =0    

3°) ΩM =ΩM '  donc  ΩM' /ΩM '= 1      ou  | (z' −z A)| / |(z−z A)  |  = 1  

(ΩM ,Ω ?M ')≡ π/3 (2π)  donc  arg(z' −z A)  -  arg(z −z A)  ≡ π/3 (2π)

or    | (z' −z A)| / |(z−z A)  |  = 1  ⇒  | (z' −z A) / (z−z A)  |  = 1  

arg(z' −z A)  -  arg(z −z A)  ≡ π/3 (2π) ⇒  arg(z' −z A)  /(z −z A))  ≡ π/3 (2π)

conclusion    :  (z' −z A) / (z−z A) =eiπ/3    

4°)  (z' −z A) / (z−z A) =eiπ/3    donc     (z' −z A) =  (z−z A) *eiπ/3    

et   z'  =  z A +   (z−z A) *eiπ/3    =   1+i +   (z−1-i) *( 1/2  +  i √3  /2)  

a)  pour B'      z= 3+i      z'  =    1+i +   (3+i−1-i) *( 1/2  +  i √3  /2)  

z' = 1+i +   (2) *( 1/2  +  i √3  /2)  

pour C'      z= 5+6i      z'  =    1+i +   (5+6i-1-i) *( 1/2  +  i √3  /2)  

z' = 1+i +   (4+5i) *( 1/2  +  i √3  /2)  

b) Calculer l'affixe de I milieu de [CB]

(3+i+5+6i) /2 =  4 + 7i/2  

c) Calculer l'affixe de I ' image de I par la transformation

pour I'      z=  4 + 7i/2       z'  =    1+i +   (4+7i/2-1-i) *( 1/2  +  i √3  /2)  

z' = 1+i +   (3+5i/2) *( 1/2  +  i √3  /2)  

d) Montrer que I ' est le milieu de [C ' B' ] .

(1+i +   (2) *( 1/2  +  i √3  /2)  +  1+i +   (4+5i) *( 1/2  +  i √3  /2)  ) /2

= (2( 1+i) +   (2+4+5i) *( 1/2  +  i √3  /2)  ) /2

=2 (1+i) /2  + (6+5i)/2 *( 1/2  +  i √3  /2)  

=(1+i) +  (3+5i/2) *( 1/2  +  i √3  /2) = zI'

6°)D'E'= |zD' - zE'| = | z A +   (d−z A) *eiπ/3  - z A -   (e−z A) *eiπ/3 |

=| (d−e) *eiπ/3 | =  | (d−e)|  *| eiπ/3 |  = | (d−e)|  *1 = | (d−e)|  =DE

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