On precise que :
f est derivable sur IR* comme composée de fonctions de reference derivables sur IR*
On reconnaît que f est de la forme u×v avec u(x)=3x et v(x) = (1+ 2/x)¹⁰
u'(x) = 3 et v'(x) = 10×(-2/x²)×(1+2/x)⁹
Pour deriver v(x), on utilise la formule de cours (uⁿ)' = n×u'×uⁿ⁻¹ avec u(x)= 1+ 2/x
Ainsi f'(x) = 3(1 + 2/x)¹⁰ + 3x×10×(-2/x²)×(1+2/x)⁹
f'(x) = 3(1 + 2/x)¹⁰ - 60x/x² ×(1+2/x)⁹
f'(x) = 3(1 + 2/x)¹⁰ - (60/x)×(1+2/x)⁹
(1 + 2/x)⁹ est facteur commun
f'(x) = (1 + 2/x)⁹[ 3(1 + 2/x) - 60/x]
f'(x) = (1 + 2/x)⁹[ 3 + 6/x - 60/x]
f'(x) = (1 + 2/x)⁹[ 3 - 54/x]
f'(x) = (1 + 2/x)⁹[ (3x-54)/x]
f'(x) = [ (x + 2)/x]⁹[ (3x-54)/x]
[tex] = \frac{ {(x + 2)}^{9} }{ {x}^{9} } \times \frac{3x - 54}{x} [/tex]
[tex] = \frac{ {(x + 2)}^{9} }{ {x}^{10} } \times (3x - 54)[/tex]
x¹⁰ est toujours strictement positif sur IR*
3x-54 ≥ 0 <=> 3x ≥ 54 <=> x ≥ 18
(x+2)⁹ ≥ 0 <=> x + 2 ≥ 0 <=> x ≥ -2
Un nombre positif elevé a un exposant impair est positif
Un nombre negatif élevé à un exposant impair est negatif
On a le tableau de signe suivant ( voir photo )
x |-∞ -2 0 18 +∞
x¹° | + | + 0 + | +
3x-54 | - | - | - 0 +
(x+2)⁹ | - 0 + | + | +
f'(x) | + 0 - || - 0 +
| 0 || +∞ +∞
f(x) | / \ || \ /
| -∞ -∞ f(18)
L'etude des limites a deja été réalisée dans une precedente réponse. Je te laisse la reprendre
