Réponse : Bonjour,
1) D'après ce qui précède:
[tex]\sqrt{x^{2}-2x+8}=3x-8 \Leftrightarrow x^{2}-2x+8=(3x-8)^{2} \; et \; 3x-8 \geq 0\\ 3x-8 \geq 0 \Leftrightarrow 3x \geq 8 \Leftrightarrow x \geq \frac{8}{3}\\ x^{2}-2x+8=(3x-8)^{2}\\x^{2}-2x+8=9x^{2}-48x+64\\8x^{2}-46x+56=0\\\Delta=(-46)^{2}-4 \times 8 \times 56=2116-1792=324\\x_{1}=\frac{46-\sqrt{324}}{16}=\frac{46-18}{16}=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}\\x_{2}=\frac{46+\sqrt{324}}{16}=\frac{46+18}{16}=\frac{64}{18}=\frac{32}{9}[/tex].
On ne retient que les solutions tels que [tex]x \geq \frac{8}{3}[/tex].
On teste donc si ces solutions vérifient cela:
[tex]\frac{7}{4}-\frac{8}{3}=\frac{21-32}{12}=-\frac{11}{12} \leq 0 \quad donc \quad \frac{7}{4} \leq \frac{8}{3}[/tex].
On ne retient donc pas le solution [tex]x_{1}=\frac{7}{4}[/tex].
[tex]\frac{32}{9}-\frac{8}{3}=\frac{32-24}{9}=\frac{8}{9} \geq 0 \quad donc \quad \frac{32}{9} \geq \frac{8}{3}[/tex].
On retient donc cette solution et la seule solution à l'équation de départ est [tex]S=\{\frac{32}{9}\}[/tex].
2) [tex]\sqrt{3x^{2}-2}=2x-3 \Leftrightarrow 3x^{2}-2=(2x-3)^{2} \; et \; 2x-3 \geq 0\\2x-3 \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq 3 \Leftrightarrow x \geq\frac{3}{2}\\ 3x^{2}-2=(2x-3)^{2}\\3x^{2}-2=4x^{2}-12x+9\\x^{2}-12x+11=0\\\Delta=(-12)^{2}-4 \times 1 \times 11=144-44=100\\x_{1}=\frac{12-\sqrt{100}}{2}=\frac{12-10}{2}=\frac{2}{2}=1\\x_{2}=\frac{12+\sqrt{100}}{2}=\frac{12+10}{2}=\frac{22}{2}=11[/tex].
On ne retient que les solutions qui vérifient [tex]x \geq \frac{3}{2}[/tex]:
[tex]x_{1}=1 \leq \frac{3}{2}[/tex], on ne retient donc pas la solution [tex]x_{1}[/tex].
[tex]x_{2}=11 \geq \frac{3}{2}[/tex], on retient donc la solution [tex]x_{2}[/tex].
La seule solution à l'équation de départ est donc [tex]S=\{11\}[/tex].
