Sagot :
Réponse : Bonsoir,
1) On calcule la dérivée f':
[tex]f'(x)=\frac{1}{2}(1-\frac{a}{x^{2}})=\frac{1}{2}(\frac{x^{2}-a}{x^{2}})=\frac{(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})}{2x^{2}}[/tex].
x 0 √a +∞
x-a - Ф +
x+a + +
f'(x) - Ф +
f(x) (décroissante) (croissante)
2) [tex]f(x)-x=\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})-x=-\frac{1}{2}x+\frac{a}{2x}=\frac{1}{2}(-x+\frac{a}{x})=\frac{1}{2}(\frac{-x^{2}+a}{x})[/tex].
x >0, donc le dénominateur est strictement positif.
Étudions le signe du numérateur [tex]-x^{2}+a[/tex].
[tex]-x^{2}+a \geq 0\\x^{2} \leq a\\x \in [-\sqrt{a};\sqrt{a}][/tex].
Donc pour [tex]x \in ]0;\sqrt{a}], -x^{2}+a \geq 0[/tex], donc [tex]f(x)-x \geq 0[/tex].
Et pour [tex]x \in [\sqrt{a};+\infty[, -x^{2}+a \leq 0[/tex], donc [tex]f(x)-x \leq 0[/tex].
On a donc la tableau suivant:
x 0 √a +∞
f(x)-x + Ф -
3) Initialisation: A l'ordre n=0.
[tex]u_{1}=f(u_{0})[/tex], comme [tex]u_{0} > \sqrt{a}[/tex], d'après la question précédente, [tex]f(u_{0})-u_{0} < 0\\u_{1}-u_{0} < 0\\u_{1} < u_{0}[/tex].
Ensuite, montrons que [tex]\sqrt{a} < u_{1}[/tex].
La fonction f a un minimum en x=\sqrt{a}, qui est:
[tex]f(\sqrt{a})=\frac{1}{2}(\sqrt{a}+\frac{a}{\sqrt{a}})=\frac{1}{2}(\frac{a+a}{\sqrt{a}})=\frac{1}{2}\frac{2a}{\sqrt{a}}=\frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}[/tex]
On a donc pour tout x > 0:
[tex]\sqrt{a} \leq f(x)[/tex], comme [tex]u_{0} > \sqrt{a}[/tex], alors [tex]f(u_{0}) > \sqrt{a}[/tex], et donc [tex]u_{1} > \sqrt{a}[/tex].
On a donc [tex]\sqrt{a} < u_{1} < u_{0}[/tex], la propriété est donc vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: On suppose la propriété vraie à l'ordre n, et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]\sqrt{a} < u_{n+2} < u_{n+1}[/tex].
D'après l"hypothèse de récurrence:
[tex]\sqrt{a} < u_{n+1} < u_{n}\\ f(\sqrt{a}) < f(u_{n+1}) < f(u_{n}) \quad car \; f \; est \; croissante \; pour \; x > \sqrt{a}\\ \sqrt{a} < u_{n+2} < u_{n+1}[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]\sqrt{a} < u_{n+1} < u_{n}[/tex].
[tex]u_{n+1} < u_{n}[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante et minorée par [tex]\sqrt{a}[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] converge.
On note [tex]l[/tex] sa limite.
D'après ce qui précède, nécessairement [tex]\sqrt{a} < l[/tex], et comme f est continue sur [tex]]\sqrt{a};+\infty[[/tex], alors:
[tex]u_{n+1}=f(u_{n})\\\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n+1}=\lim_{n \mapsto +\infty} f(u_{n})\\l=f(l)[/tex].
On résout donc l'équation l=f(l):
[tex]l=\frac{1}{2}(l+\frac{a}{l})\\\frac{1}{2}l=\frac{a}{l}\\l \times l=2a\\l^{2}=2a\\l=-\sqrt{2a} \quad ou \quad l=\sqrt{2a}[/tex].
Comme pour tout n entier naturel, [tex]\sqrt{a} < u_{n}[/tex], on ne garde que la deuxième solution, donc [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=\sqrt{2a}[/tex].
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