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Bonjour pouvez-vous m'aide, merci d'avance

Jeannot travaille et économise 180€ par mois. Il décide de dépenser chaque mois la moitié de ses économies. Il espère ainsi pouvoir dépenser plus tout en augmentant ses économies. Il possède 200€ le jour où il prend sa décision. On note Un le montant de ses économies le n-ieme mois.

1) Calculer les termes de rang 1, 2, 3. Peut-on confirmer les espoirs de Jeannot

2) Donner une relation de récurrence entre Un et Un+1.

3) On note Vn la suite définie pour tout n de N par Vn = Un - 360
a) Prouver que la suite c est géométrique de raison 0.5
b) Exprimer Vn en fonction de n
En déduire celle de Un en fonction de n

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape

1) On note U0=200               U4=340/2+180=350

U1=U0/2+180=280                U5=350/2+180=355

U2=280/2+180=320              U6=355/2+180=357,5

U3=320/2+180=340

A priori Un va être plafonnée vers 360. (conjecture)

2) Relation de récurence  U(n+1)=Un/2+180

3-a)Vn=Un-360

Vn est une suite géométrique si V(n+1)/Vn=constante

V(n+1)=U(n+1)-360=Un/2+180-360=Un/2-180=(1/2)(Un-360)

On note que V(n+1)/Vn=1/2  Vn est une suite géométrique de raison q=1/2 et Vo=U0-360=200-360=-160

Vn=-160*(1/2)^n

3-b) Si Vn=Un-360     Un=360+Vn

soit Un=360-160(1/2)^n

vérification Uo=360-160=200

et par exemple U4=360-160(1/2)^4=360-10=350 (résultat de la question1)

On voit que cette suite Un tend vers 360 quand n tend vers +oo  car (1/2)^n tend vers 0 quand n tend vers +oo

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