Réponse :
Bon ça c'est ce que j'ai pu trouver pour toi comme explication pour démontrer que √2 est irrationnel
Démonstration de « √2 est irrationnel »
Supposons par l'absurde que √2 soit rationnel : alors où a, b sont des nombres entiers positifs. Il est possible de simplifier la fraction jusqu'à ce que a, b soient premiers entre eux (c'est-à-dire la fraction ne puisse plus être simplifiée).
Explications étape par étape
√2 = a/b
√2b = a
2b² = a²
Puisque a²est pair, a est pair et a = 2 p où p est un entier positif.
2b² = ( 2p )²
2b² = 4p²
b² = 2p
Puisque b² est pair, b est pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction par 2, ce qui contredit l'hypothèse que a, b sont premiers entre eux.
Lemme
Pour tout entier a, si a² est pair, alors a est pair.
Démonstration par contra position : Montrons que, si a est impair, alors a2 est impair. Posons a = 2 n + 1.
Alors a² = (2 n + 1)2 = 4 n² + 4 n + 1 qui est impair.
Puisque l'hypothèse « √2 est rationnel » conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir « √2 est irrationnel ».
