Bonjour ;
1.
f est définie sur IR et pour tout x ∈ IR on a : x + 2π ∈ IR .
On a : f(x + 2π) = √3 cos(x + 2π) - sin(x + 2π)
= √3 cos(x) - sin(x) = f(x) ;
donc f est périodique de période 2π .
2.
f(x) = √3 cos(x) - sin(x) = 2(√3/2 cos(x) - 1/2 sin(x))
= 2(cos(π/6)cos(x) - sin(π/6)sin(x))
= 2 cos(x + π/6) .
3.
On a : f ' (x) = - 2sin(x + π/6) .
Pour x ∈[0 ; 5π/6] <==> 0 ≤ x ≤ 5π/6 ;
donc : π/6 ≤ x + π/6 ≤ 5π/6 + π/6 = π ;
donc d'après le cercle trigonométrique : sin(x + π/6) ≥ 0 ;
donc : f ' (x) = - 2sin(x + π/6) ≤ 0 ;
donc : f est décroissante .
Pour x ∈[11π/6 ; 2π] <==> 11π/6 ≤ x ≤ 2π ;
donc : 11π/6 + π/6 = 2π ≤ x + π/6 ≤ 2π + π/6 = 13π/6 ;
donc d'après le cercle trigonométrique : sin(x + π/6) ≥ 0 ;
donc : f ' (x) = - 2sin(x + π/6) ≤ 0 ;
donc : f est décroissante .
Pour x ∈[5π/6 ; 11π/6] <==> 5π/6 ≤ x ≤ 11π/6 ;
donc : 5π/6 + π/6 = π ≤ x + π/6 ≤ 11π/6 + π/6 = 2π ;
donc d'après le cercle trigonométrique : sin(x + π/6) ≤ 0 ;
donc : f ' (x) = - 2sin(x + π/6) ≤ 0 ;
donc : f est croissante .