Réponse :
1) (MN)//(BC) tu justifies
thales
AM/AB=AN/AC=MN/BC
x/10=x/10=MN/10
10MN=10x
MN = 10x/10 =x
AMN équilateral
2)NH hauteur du triangle équilatéral (voir proprietes droites dans un triangle équilateral (cours 4eme) H milieu de AM
3) aHN rectangle en H
AN²=AH²+HN²
x²=(x/2)²+HN²
HN² = x²-x²/4 =3x²/4
HN=x√3/2
4) BN²=HN²+BH²
BN²= 3x²/4+(20-x)²
BN²= 3x²/4+400-40x+x²/4=
(4x²-40x+400)/4 = x²-10x+100
5) x²-10x+100 =(x-5)²+75
à finir
Réponse :
b) démontrer que AMN est équilatéral
comme AM = AM ⇒ AMN est isocèle donc les angles à la base sont égaux : ^AMN = ^ANM
le triangle ABC est équilatéral ⇒ ^BAC = 60°
La somme des angles du triangle AMN est : ^BAC + 2^AMN = 180°
⇔ 2ÂMN = 180 - 60 = 120° ⇒ ^AMN = 120/2 = 60°
Donc les angles du triangle AMN sont égaux à 60° ⇒ le triangle AMN est équilatéral
c) montrer que H est le milieu du segment (AM)
puisque le triangle AMN est équilatéral ⇒ NH est hauteur ; médiatrice et médiane donc AH = HM donc H est le milieu de (AM)
d) démontrer que HN = √3/2 * x
MN² = HN²+HM² ⇒ HN² = MN² - HM² = x² - (x/2)² = x² - x²/4 = 4 x² - x²)/4
⇒ HN² = 3 x²/4 ⇒ HN = x√3/2
e) démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 10]: BN² = x² - 10 x + 100
BN² = BM² + NH²
= (10 - x/2)² + 3 x²/4 = 100 - 10 x + x²/4 + 3 x²/4 = 100-10 x + 4 x²/4
donc BN² = x² - 10 x + 100
f) déterminer la position du point M pour que la distance BN soit minimale
on cherche la forme canonique de BN²
BN² = x² - 10 x + 25 - 25 + 100 = (x - 5)² + 75
donc la position du point M doit être : AM = x = 5 pour que BN soit minimale
Explications étape par étape