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Sagot :
Bonjour,
1) Le centre du cercle C de diamètre [OB] est le point J(0;1).
2) Il suffit de démontrer que JM = 1.
En effet,
[tex]JM=\sqrt{(x_M-x_J)^2+(y_M-y_J)^2}\\JM=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0)^2+(\dfrac{3}{2}-1)^2}\\JM=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2}\\JM=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}\\JM=\sqrt{\dfrac{4}{4}}\\JM=\sqrt{1}\\JM=1[/tex]
3) a) Une équation de la droite (BM) est de la forme y = ax + b.
Le coefficient directeur de la droite est
[tex]a=\dfrac{y_M-y_B}{x_M-x_B}\\\\a=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0}\\\\a=\dfrac{\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\a=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\a=(-\dfrac{1}{2})\times\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\\\a=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
L'ordonnée à l'origine de la droite est b = 2
D'où
[tex](BM):y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+2[/tex]
L'abscisse du point D est la solution de l'équation [tex]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+2=0[/tex]
[tex]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=-2\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=2\\\\x=2\sqrt{3}[/tex]
D'où : [tex]D(2\sqrt{3};0)[/tex]
c) [tex]K=(\dfrac{x_O+x_D}{2};\dfrac{y_0+y_D}{2})\\\\K:(\dfrac{0+2\sqrt{3}}{2};\dfrac{0+0}{2})\\\\K:(\sqrt{3};0)[/tex]
4a) Démontrons que OK² = OM² + MK²
[tex]OK^2=(x_K-x_0)^2+(y_K-y_O)^2\\=(\sqrt{3}-0)^2+(0-1)^2\\=(\sqrt{3})^2+(-1)^2\\=3+1\\=4[/tex]
OM = rayon du cercle C = 1 ===> OM² = 1² = 1
[tex]MK^2=(x_K-x_M)^2+(y_K-y_M)^2\\=(\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(0-\dfrac{3}{2})^2\\=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(-\dfrac{3}{2})^2\\=\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}\\\\=\dfrac{12}{4}\\\\=3[/tex]
[tex]OK^2= OM^2 + MK^2\ \ car\ \ 4=1+3[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OMK est rectangle en M.
b) La droite (KM) est tangente au cercle C au point M car cette droite (KM) est perpendiculaire au rayon [OM] en M puisque le triangle OMK est rectangle en M.
1) Le centre du cercle C de diamètre [OB] est le point J(0;1).
2) Il suffit de démontrer que JM = 1.
En effet,
[tex]JM=\sqrt{(x_M-x_J)^2+(y_M-y_J)^2}\\JM=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0)^2+(\dfrac{3}{2}-1)^2}\\JM=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2}\\JM=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}\\JM=\sqrt{\dfrac{4}{4}}\\JM=\sqrt{1}\\JM=1[/tex]
3) a) Une équation de la droite (BM) est de la forme y = ax + b.
Le coefficient directeur de la droite est
[tex]a=\dfrac{y_M-y_B}{x_M-x_B}\\\\a=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0}\\\\a=\dfrac{\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\a=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\a=(-\dfrac{1}{2})\times\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\\\a=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
L'ordonnée à l'origine de la droite est b = 2
D'où
[tex](BM):y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+2[/tex]
L'abscisse du point D est la solution de l'équation [tex]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+2=0[/tex]
[tex]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=-2\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=2\\\\x=2\sqrt{3}[/tex]
D'où : [tex]D(2\sqrt{3};0)[/tex]
c) [tex]K=(\dfrac{x_O+x_D}{2};\dfrac{y_0+y_D}{2})\\\\K:(\dfrac{0+2\sqrt{3}}{2};\dfrac{0+0}{2})\\\\K:(\sqrt{3};0)[/tex]
4a) Démontrons que OK² = OM² + MK²
[tex]OK^2=(x_K-x_0)^2+(y_K-y_O)^2\\=(\sqrt{3}-0)^2+(0-1)^2\\=(\sqrt{3})^2+(-1)^2\\=3+1\\=4[/tex]
OM = rayon du cercle C = 1 ===> OM² = 1² = 1
[tex]MK^2=(x_K-x_M)^2+(y_K-y_M)^2\\=(\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(0-\dfrac{3}{2})^2\\=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(-\dfrac{3}{2})^2\\=\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}\\\\=\dfrac{12}{4}\\\\=3[/tex]
[tex]OK^2= OM^2 + MK^2\ \ car\ \ 4=1+3[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OMK est rectangle en M.
b) La droite (KM) est tangente au cercle C au point M car cette droite (KM) est perpendiculaire au rayon [OM] en M puisque le triangle OMK est rectangle en M.
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