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exercice 1
1.
U1 = (2×0+1)/(0+2) = ½
U2 = (2×½+1)/(½+2) = 4/5
2.
Associons a (Un) la fonction f(x) telle que f(Un)= Uₙ+₁
f(x) = (2x+1)/(x+2)
f est derivable sur IR+ comme fonction rationnelle.
f'(x) = [2(x+2)-1(2x+1)]/(x+2)²
f'(x) = 3/(x+2)²
f'(x) est strictement positive sur IR+ donc f est strictement croissante sur IR+
Soit la propriété P(n) : 0≤Un<1
Initialisation :
Uo = 0 donc 0≤Uo≤∆<1
La propriété est vraie au rang 0
Hérédité :
Supposons P(n) vraie pour un entier naturel n≥ 0
0≤Un<1
f(0)≤f(Un) < f(1) et la fonction f est croissante. L'ordre est conservé.
½ ≤ Uₙ+₁ < 1
à fortiori
0≤ Uₙ+₁ < 1
P(n+1) est vraie.
Conclusion : la propriété vraie au rang 0 et elle est héréditaire. Donc
0≤Un< 1 pour tout entier naturel n.
3. Uₙ+₁ - Un = (2Un+1)/(Un+2) - Un
= (2Un+1)/(Un+2) - Un(Un+2)/(Un+2)
= (2Un+1-Un²-2Un)/(Un+2)
= (1- Un²)/(Un+2)
On sait que 0≤Un<1
0≤Un²<1
-1<-Un² ≤0
0<1-Un²≤1
de meme 2≤Un+2<4
Le quotient de 2 nombres positifs est positif.
Uₙ+₁ - Un > 0 donc la suite (Un) est strictement croissante pour tout n.
4. La suite est strictement croissante et majorée par 1 donc d'après le théoreme de convergence des suites monotones, la suite (Un) converge vers L= 1.
L = (2L+1)/(L+2)
L(L+2)= 2L+1
L² +2L = 2L+1
L² = 1
L= -1 ou L = 1
Or 0≤Un <1 donc L=1
Exercice 2
1.
en C2 on a
"=B2+2*A2^2+3*A2+5"
en B3 on a
"=2*B2+2*A2^2-A2"
2.
On remarque que Vn+1 = 2Vn, qui est une suite geometrique de raison 2 et de terme initial Vo=7
Il semble que Vn=7×2ⁿ, pour tout entier naturel n.
Un = Vn - 2n² - 3n - 5
Un = 7×2ⁿ - 2n² - 3n - 5 pour tout entier naturel n
3)
Vn+1 = Un+1 + 2(n+1)² + 3(n+1) + 5
= 2Un + 2n² - n +2(n+1)² + 3(n+1) +5
= 2Un + 2n² - n + 2n² + 4n + 2 + 3n + 3 + 5
= 2Un + 4n² + 6n +7
= 2(Vn - 2n² - 3n - 5) + 4n² + 6n +10
= 2Vn
(Vn) est geometrique de raison 2 et Vo = Uo+5=7 pour tout n.
Vn=7×2ⁿ, pour tout entier naturel n.
Un = Vn - 2n² - 3n - 5
Un = 7×2ⁿ - 2n² - 3n - 5 pour tout entier naturel n