Réponse :
Explications étape par étape
1- Si le nombre u était décimal, il aurait un nombre fini de décimales, comme par exemple 0,123 ou 1,4785. Or, l'énoncé précise qu'il possède une infinité de décimales, donc u n'est pas décimal.
2a. Par définition, le nombre de décimales d'un nombre décimal, c'est le nombre de chiffres après la virgule. Si tu comptes, tu verras que la 20e décimale vaut 1.
b. Après la 9e décimale, il faut écrire les nombres de 10 à 19,puis de 20 à 29,puis de 30 à 39 etc jusqu'à 90 à 99. De 10 à 19 tu as 10 nombres (ne surtout pas oublier le 10), et ainsi de suite jusqu'à 99. Il y a donc 10x9=90 nombres à 2 chiffres après la 9e décimale de u.
C. Le 1er nombre à 3 chiffres sera 100,après le nombre 99. De 10 à 99 il y a 90 nombres donc 90x2=180 décimales. Ensuite, il faut ajouter les 9 premières décimales, il faudra donc écrire 189 décimales avant d'obtenir le 1er nombre à 3 chiffres qui sera 100.
3. On peut écrire astucieusement que 100 = 9 + (45x2) +1. On commence donc au chiffre 9 correspondant à la 9e décimale. Ensuite, on ajoute 45 + 1 décimales. En ajoutant 40 décimales, on tombe sur le nombre 29. Donc avec 46 décimales, on tombe sur 32. La 100e décimale de u est donc 2.
Pour 1000, même technique, on décompose, sachant qu'il faut 189 décimales avant d'écrire le nombre 100 : 1 000 = 189 + (3x270) +1. À partir du nombre 100,on comptera de 3 décimales en 3 décimales. De 100 à 189 on a 90 nombres donc 270 décimales. Ainsi, la 999e décimale vaut 9. Il reste alors à ajouter 1, pour tomber sur le 1er chiffre du nombre 190. La 1000 décimale vaut donc 1.
4- Ici aucun souci en particulier, somme des chiffres de 1 à 9 ça vaut 9x10/2 = 45. (formule de Gauss n(n+1)/2). Pour les 29 premières décimales, on va jusqu'à 19, donc 19x20/2 = 190. Pour les 49 premières, on va jusqu'à 39 donc 39x40/2 = 780. Et enfin, pour les 89 premières, jusqu'à 79 donc 79x80/2 = 3160.
Je l'avais encore jamais vu cet exercice, n'hésite pas à écrire les décimales au brouillon pour bien visualiser comment ça se passe.
