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Bonjour je suis un élève de seconde et je bloque sec.
J'ai donc commencé a faire la suite des nombres, mais sans succès, s'il vous plait déjà avec une moyenne catastrophique je demande un peu d'aide. On m'a dit de rechercher suite de fibonacci mais aucun déclic.

Au XIIIe siècle, dans son traité mathématique Liber Abaci, le mathématicien Fibonacci pose le
problème suivant :
« Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, commençant avec un
couple, chacun des couples produisait chaque mois un nouveau couple lequel deviendrait
productif au second mois de son existence ? »
Les réponses constituent les nombres de la suite de Fibonacci : 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - ...
1) Expliquer ce résultat et compléter la suite de nombres de Fibonacci pour 1ère année.
2) Calculer les valeurs approchées à 10-3 près des quotients de deux nombres successifs de la suite de Fibonacci et comparer les résultats avec φ =1+ 5/2 , le Nombre d'Or.


C. Quelques égalités concernant le Nombre d'Or

1) Prouver que φ est une solution de l'équation x²-x-1 = 0
2) Même question avec l'équation (1/x)-x+1= 0

D. Le Nombre d'Or en géométrie

Les deux parties qui suivent sont indépendantes.

1ère partie :
1) AIJD est un carré de côté 10 cm. M est le milieu de [DJ] et C est le point de la demi-droite [DJ) tel que Ml = MC. B est le point tel que ADCB soit un rectangle.
Calculer la valeur exacte de la longueur MI et en déduire la valeur exacte de la longueur du rectangle ADCB ?
2) Vérifier que le rapport « longueur sur largeur » du rectangle ADCB est égal à φ. Un tel rectangle est appelé Rectangle d'Or.
3) Prouver que IBCJ est un Rectangle d'Or.

2ème partie :
1) Quelle doit être la longueur d'un rectangle ABCD de largeur AD = 6 cm pour qu'il soit un Rectangle d'Or ? Donner la valeur exacte puis vérifier qu'une valeur approchée à 10-2 près centimètre est 9,71 cm.
2) Dessiner ce rectangle ABCD puis à l'intérieur les carrés AIJD, IBKL, KCNM, JNOP.
Dans chaque carré, tracer le quart de cercle de centre J, de rayon JD ; le quart de cercle de centre L, de rayon LI ; le quart de cercle de centre M, de rayon MK ; le quart de cercle de centre O, de rayon ON. Le résultat de la construction est une spirale appelée Spirale d'Or.
3) Prouver que la longueur de cette spirale est 3 racine de 5 pi cm

En remerciant infiniment d'avance

Sagot :

Hanaeelbahja1032004

Réponse :

Explications étape par étape

On note Un le nombre de coupes au bout de n mois et on débute avec un couple de lapins nouveau-né.

Donc Uo = 1.

Ce couple ne commence à se reproduire qu'au bout de deux mois, donc U1 = 1.

A la fin du 2° mois, un nouveau couple est né : U2 = 2

A la fin du 3° mois, le premier couple a donné naissance à un autre couple (mais pas le second, qui ne commence à se reproduire qu'au bout de deux mois), donc U3 = 3

1 On note J le couple jeune et A le couple adulte

 u(0) = 1  (J)

 u(1) = 1  (A)

 u(2) = 2  (A+J)

 u(3) = 3  (A+J+A)=(2A+J)

 u(4) = 5  (2A+2J+A)=(3A+2J)

 u(5) = 8  (3A+3J+2A)=(5A+3J)

 u(6) = 13 (5A+5J+3A)=(8A+5J)

 u(7) = 21 (8A+8J+5A)=(13A+8J)

2 u(5) = u(4)+u(3)           u(3) = u(2)+u(1)

      = 5 + 3                    = 2 + 1

      = 8                        = 3

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