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Sagot :
Réponse :
soit f(x) = x³ définie sur R
1) déterminer le taux de variation de f entre 1 et 1 + h h réel
[f(1+h) - f(1)]/h = [(1+h)³ - 1]/h
(1+h)³ = (1+h)²(1+h) = (1 + 2 h + h²)(1 + h) = 1 + h + 2 h + 2 h² + h² + h³
= h³ + 3 h³ + 3 h + 1
Donc [(1+h)³ - 1]/h = [(h³ + 3 h² + 3 h + 1) - 1]/h = h² + 3 h + 3
le nombre dérivé de f en 1 est :
f '(1) = lim (h²+ 3 h + 3) = 3
h→0
2) déterminer s'il existe le nombre dérivé de f en - 2
f '(-2) = lim [f(-2+h) - f(-2)]/h = lim [(h³ - 6 h² + 12 h - 8) + 8]/h
h→0 h→0
f '(-2) = lim (h² - 6 h + 12) = 12
h→0
f(-2+h) = (-2+h)³ = (-2+h)²(-2+h) = (4 - 4 h + h²)(-2+h) =
- 8 + 4 h + 8 h - 4 h² - 2 h² + h³ = h³ - 6 h² + 12 h - 8
f(- 2) = - 8
3) [taux de variation entre a et a+h est : f(a+h) - f(a)]/h
(a+h)³ = (a+h)²(a+h) = (a² + 2a h + h²)(a+h) = a³ + a²h + 2a² h + 2a h² + h²a + h³ =h³ + 3a h² + 3a² h + a³
[h³ + 3a h² + 3a² h + a³ - a³]/h = (h³ + 3a h² + 3a² h)/h = h² + 3a h + 3a²
f '(a) = lim (h²+ 3a h + 3a²) = 3a²
h→0
4) déterminer de la même façon le taux de variation de la fonction g entre 2 et 2+h de g(x) = √x
f(2+h) = √(2+h)
f(2) = √2
taux de variation : (√(2+h) - √2)/h
= (√(2+h) -√2)(√(2+h) + √2)/h(√(2+h) + √2) = (2+h - 2)/h(√(2+h) + √2)
= 1/(√(2+h) + √2)
f '(2) = lim (1/(√(2+h) + √2)) = 1/2√2 = √2/4
h→0
5) pour la forme générale je vous laisse le soin de la faire en utilisant la méthode précédente
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