Bonjour,
Premièrement, on va définir la fonction valeur absolue :
[tex]|x| = x[/tex] si [tex]x\geq 0[/tex] et [tex]|x| = -x[/tex] si [tex]x\leq 0[/tex]
1) On cherche l'image de [tex]|\sqrt{6} -3 |[/tex]
Dans ce cas, on a [tex]x = \sqrt{6} -3[/tex]
On cherche donc à connaitre le signe de cette quantité
[tex]\sqrt{6} \leq 3[/tex] donc [tex]\sqrt{6} -3\leq 0[/tex]
Nous sommes dans le deuxième cas de la fonction valeur absolue, elle transforme donc la quantité [tex]\sqrt{6} -3[/tex] en [tex]-(\sqrt{6} -3)[/tex]
Finalement, [tex]|\sqrt{6} -3| =-(\sqrt{6}-3) = -\sqrt{6} + 3[/tex]
L'affirmation est donc vraie.
2) D'après la définition de la valeur absolue :
[tex]|5| = 5[/tex] car [tex]5\geq 0[/tex]
L'affirmation est fausse.
3) On ne connait pas la valeur de x
Donc on a deux cas, [tex]|x| = x[/tex] si [tex]x\geq 0[/tex] et [tex]|x| = -x[/tex] si [tex]x\leq 0[/tex]
C'est deux cas entraînent deux inéquations :
[tex]x < 3[/tex] et [tex]-x<3[/tex]
donc [tex]x < 3[/tex] et [tex]x > -3[/tex]
Finalement [tex]x[/tex] ∈ [tex]]-3,3[[/tex]
L'affirmation est vraie.
4) Contre-exemple : [tex]\sqrt{4} = \sqrt{2^{2} } = 2[/tex] ou [tex]-2[/tex]
L'affirmation est fausse.
La proposition correcte est la suivante :
∀[tex]x[/tex]∈R, [tex]\sqrt{x^{2} } = |x|[/tex]
