Bonjour,
Je vois que tu as beaucoup d'exercice de trigonométrie et tu sembles avoir du mal avec cette leçon, je vais essayer de t'expliquer au mieux.
La figure à reproduire est la 1ère image en pièce jointe, à l'exception que le repère (O,I,J) se nomme (O,A,B) et que les points A, B, C sont remplacés par les point M1, M2 et M3 avec A = M2, B = M3 et C = M1.
1) Dans le cercle trigonométrique, le sens horaire (même sens que les aiguilles d'une montre) correspond au signe - et le sens antihoraire (sens inverse des aiguilles d'une montre) au signe +.
Le sens antihoraire est le sens normal de lecture dans le cercle trigonométrique et celui qui sera donc privilégié.
Si on considère l'arc de cercle dans le sens antihoraire que forme les points A et M, on se rend compte qu'il s'agit en réalité de la moitié du cercle, cette quantité correspond au nombre π dans le cercle trigonométrique.
On en déduit que les deux points sont donc séparé par "une distance" égale à π, comme le point M est l'image du nombre x, A est l'image du nombre π+x
De même, on remarque que le point B est situé à la même distance que le point M mais dans l'autre sens (le point B est à la même distance que M mais dans le sens horaire).
B est donc l'image du point -x (même distance que M qui correspond à la valeur x mais sens horaire donc signe -).
Pour le point C, on remarque qu'il est à la même distance que le point A mais le sens horaire, C est donc l'image du point π-x.
2) On s’intéresse maintenant aux coordonnées de ces différents points.
D'après la question 1), le point M a pour coordonnées (cos(x),sin(x)), je te laisse regarder la 2ème image en pièce jointe si tu ne comprend pas ces coordonnées.
De même on a A(cos(π+x), sin(π+x)), B(cos(-x), sin(-x)) et C(cos(π-x), sin(π-x))
Si on trace les pointillées pour lire l'abscisse et l'ordonnée de ces différents points, on se rend compte que :
- le point A a pour abscisse l'opposé de l'abscisse de M, en effet l'abscisse de A est la même que celle de M mais chez les négatifs.
Comme l’abscisse de M est cos(x), celle de A est donc -cos(x).
Or A a aussi pour abscisse cos(π+x).
On en déduit que cos(π+x) = -cos(x)
De même l'ordonnée de A est l'opposé de l'ordonnée de M.
L'ordonnée de M c'est sin(x) donc celle de A est -sin(x)
On en déduit que sin(π+x) = -sin(x).
- Le point B a la même abscisse que M.
L'abscisse du point M est cos(x), donc B a aussi pour abscisse cos(x)
Or B a pour abscisse cos(-x)
On en déduit que cos(-x) = cos(x) et que cos(x) est une fonction paire.
L'ordonnée de B est l'opposé de celle de M
L'ordonnée de M est sin(x) donc l'ordonnée de B est -sin(x)
Or B a pour ordonnée sin(-x)
On en déduit que que sin(x) = -sin(x) et que sin(x) est une fonction impaire.
- Le point C a pour abscisse l'opposé de l'abscisse de M, en effet l'abscisse de C est la même que celle de M mais chez les négatifs.
Comme l’abscisse de M est cos(x), celle de C est donc -cos(x).
Or C a aussi pour abscisse cos(π-x).
On en déduit que cos(π-x) = -cos(x)
L'ordonnée de C est la même que celle de M
L'ordonnée de M c'est sin(x) donc celle de C est aussi sin(x)
Or C a aussi pour ordonnée sin(π-x)
On en déduit que sin(π-x) = sin(x)
Ces formules sont à connaitre par coeur et peuvent être retrouvées en appliquant la même démarche que celle que j'ai employé dans cet exercice.
Il en existe d'autre, je te laisse regarder la 3ème image en pièce jointe pour les connaitre.
Voila, je te laisse noter ma réponse, si tu as d'autres questions, n'hésite pas à les poser en commentaire.
Cordialement,
H.R
